Application linéaire

[helix]

soit f(x,y,z) ...... (x+y-z,x-2y+z)
vérifier qu'il s'agit d'une application linéaire.
cet exercice est dans mon livre de math mais la correction n'est pas détaillé pouvez m'expliquez ?
je sais que je dois montre f(a.x)=af(x) et f(x+y)=f(x) + f(y)
mais je ne sais pas comment m'y prendre ?
merci

[Joker62]

Soit A = (a1,a2,a3) et B = (b1,b2,b3)

Calculer f(A+B) = f(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
Et f(A) + f(B)

et pareil avec un scalaire

[Charlotte59]

Slt,

je suppose que tu travailles ds R^3
donc :
Soient a€R, (x, y, z) et (x', y', z')€R^3 :
Il faut calculer f(a.(x, y, z)), càd :
f(a.(x, y, z)) = f(a.x, a.y, a.z) = (a.x+a.y-a.z,a.x-2.a.y+a.z)
= a.(x+y-z,x-2y+z) = a.f(x, y, z).
Et on fait pareil pour montrer que f((x, y, z)+(x', y', z')=f(x, y, z) + f(x', y', z')

[helix]

d'accord j'ai reussi, mais comment trouver le noyau de f et Im f
pour le noyau dois-résoudre f(x,y,z)=0 si c'est le cas j'ai 2 équation à 3 inconnues ???

[Charlotte59]

Ben oui ,
tu as :
(x+y-z,x-2y+z) = (0, 0)
x+y-z = 0 et x-2y+z = 0
z = x+y et 2x-y = 0
z = x+y et y = 2x
z = 3x et y = 2x : On a un vecteur de la forme (x, 2x, 3x)
(x, y, z)€vec{(1, 2, 3)}
Donc ker(f) = vec{(1, 2, 3)}