Bordeaux 2005

[paul75]

Quatre maisons sont situées aux quatre coins d’un carré de côté 1. On souhaite construire un réseau routier qui permet de relier les maisons mais on veut que ce réseau soit le plus court possible.

1. Dans un premier temps, on envisage de créer un rond point à l’intérieur du carré comme dessiné sur la figure 1. Démontrer que dans ce cas, le réseau le plus court est obtenu lorsque le rond point est situé au centre du carré.

2. Un des habitants s’est rendu compte qu’avec deux ronds points placés comme sur la figure 2, on pouvait réduire la longueur du réseau.Vérifier qu’il a raison.

3. 1) montrer que la longueur du réseau routier peut s'exprimer comme une fonction f de l'angle telle que f(t)=1+(2-sin t/cos t )

2) déterminer alors le valeurs de t pur laquelle on obtient dans ce cas le réseau le plus court




reponse aux question

Question 1

Un rappel
On appelle inégalité triangulaire la propriété suivante :
quels que soient les points A, B et C, AB £ AC+CB.

Elle traduit le fait que, dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés.

On peut donc écrire AC £ AR+RC et BD £ BR+RD.
En ajoutant membre à membre ces deux inégalités, il vient : AC+BD £ AR+RC+BR+RC.
Le réseau le plus court est donc bien celui où R=O.
Sa longueur est alors » 5,65.

Question 2
Dans la situation de la figure 2, la longueur L du réseau est 4AE+EF.
Or AE= et EF=1, donc L = » 5,47.
Cette longueur est donc bien inférieure à celle du réseau où l'unique rond-point est en O


pour la troisième question je suis bloque