Bonsoir,
voilà quelques jours que je cherche mon DM, et je reste bloquée sur une question. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Contexte : :we:
X est un espace topologique compact.
On note C(x)=ev complexe des fonctions continues de X vers . Alors C(X) est une algèbre de Banach unitaire commutative avec la norme .
Définition d'un caractère : soit A une algèbre de Banach, on appelle caractère sur A un morphisme d'algèbre unitaire de A vers , c'est-à-dire une application linéaire , telle que et pour tous x et y de A, .
Voici la question :
Pour tout , on pose . Soit un caractère de C(X).
Montrer que la famille ne recouvre pas X.
Voici ce que j'ai montré dans les questions précédentes :
pour toute algèbre de Banach A :
si , alors
est continue et
si et sont deux caractères de A et , alors .
J'ai essayé beaucoup de trucs :
trouver un point de X, dans aucun des , comme limite d'une suite de X, où chaque est dans un nombre fini de , et tels qu'ils annulent chacun un nombre infini de , mais je ne sais pas construire une telle suite,
supposer que les recouvrent X, on en extrait donc un recouvrement fini, mais je n'arrive pas à conclure,
construire une f dans qui annule un point x, f comme limite uniforme de n'annulant pas x, mais alors quel x prendre...
Si vous pouviez me mettre sur la voie...
Merci d'avance.