Exercice pour demain

[nounours94170]

Bonsoir à tous,
j'ai un exercice à faire pour demain sur les suites
on a u0=-1 et u(n+1)=(3+2un)/(2+un)
1) Calculer les 4 premiers termes de la suite
j'ai calculer les premiers termes comme s'est demandé dans l'énoncé
j'obtiens u1=1 u2=5/3 u3=19/11 u4=71/41.

2) démontrer que (Un) est un nombre positif pour tout entier n non nul. en déduire que (Un) est définie quel que soit l'entier n :

j'ai essayer par récurrence, voici ce que j'ai fait :
P(1) est vrai car u1=1
Montrons que P(n+1) est vrai. Il s'agit de prouver que Un+1>0
comme uN>0 donc 2Un>0 donc 3+2Un>0 et 2+Un>0
Car il s'agit d'une division de deux nombre positif donc le résultat obtenu sera positif.
Alors (3+2Un)/(2+Un)>0 cad Un+1>0
Donc Pn+1 est vrai.

P(o) est vrai, si (pn) est vrai alors pn+1 est vrai , donc d'après l'axiome de récurence Pn est vrau pour tout n appartenement à N(positif non nul ) .

3) on considère la suite Vn=(un-(racine de 3))/(un + (racine de 3) )
a) montrer que la suite (Vn) est géométrique donc on donnera le premier terme et la raison.

après calcul Vn+1= (un+1-racine3)/(un+1+racine3)
= (3+2Un- racine3(2+Un))/(3+2Un+racine3(2+Un))

à partir d'ici je suis bloquée, pouvez-vous m'aider svp, et me corriger si mes résultats ne sont pas correct.
Merci beaucoup
bonne soirée
Cordialement.

[m&ms]

Dans l'expression de v(n+1), on peut déjà commencer isoler au numérateur et dénominateur les termes dépendant de u(n) et les autres. Ensuite, on fait apparaître dans le dénominateur un u(n) isolé (i.e avec un coef 1 devant) en divisant en haut et en bas par (2-racine(3)) (la suite sera géométrique selon l'énoncé, donc il y a "forcément" un v(n) qui va apparaître avec un coef devant). Il reste alors des coefs qu'on calcule avec la quantité conjuguée. Je tombe sur 1/(2+racine(3))^2 (pour la raison) si je ne me suis pas trompé.

[nounours94170]

je suis désolé mais je n'ai pas compris, je n'arive toujours pas à trouver que Vn est une suite géométrique...