Etudes de fonction

[imagine]

Bonjour , je suis éléve de 1ere S
Voila je séche sur le dernier exercice de mon DM , donc voila l'énnoncé :

1-Dans un repère orthonormal (0, i , j ) placez le point A ( -2; 1 ) et construisez les droites "d" et "delta" d'équations respectives x=-1 et y=2.

Bon la aucun probléme.

2- f est une fonction homographique telle que :

f(x) = (ax+b)/( x+c)

et C sa courbe representative dans le repére ( 0, i, j )

a) Déterminez a,b et c pour que C passe par A, admette "d" pour asymptote verticale et "delta" pour asymptote horizontale .

Voila et je coince j'arrive meme pas a determiner a ou b ou c :triste:

J'espere que vous pourrez m'aider, bonne aprem, merci d'avance.

[Quidam]

Ben réfléchis un petit peu !

Dans quel cas auras-tu une asymptote verticale ? Si f(x) tend vers... quand x tend vers une certaine valeur non ?

Dans quel cas auras-tu une asymptote horizontale ? Si f(x) tend vers une valeur finie lorsque x tend vers . Même sans connaître a,b,c et c tu peux dire ce que fait f(x) lorsque : il tend vers ...

[imagine]

x=-1 c'est une asymptote verticale
donc c=1 non ? vu que pour trouver une valeur interdite x+c = 0
et comme x=-1 c'est une asymptote verticale -1+c=0 d'ou c=1

Mais est ce que ca serai valable comme explication ??

Question aussi quand l'ennoncé dit "Admettre d pour asymptote" on doit prouver que d est une asymptote ou c'est une aide ?

[Quidam]

x=-1 c'est une asymptote verticale
donc c=1 non ?

Ben oui ! C'est cela ! Une asymptote verticale existe si f(x) tend vers lorsque x tend vers une certaine valeur finie : l'équation de l'asymptote est alors

vu que pour trouver une valeur interdite x+c = 0
et comme x=-1 c'est une asymptote verticale -1+c=0 d'ou c=1

Mais est ce que ca serai valable comme explication ??

Ben c'est un peu confus...

Tu peux dire : [INDENT]"Une asymptote verticale existe si f(x) tend vers lorsque x tend vers une certaine valeur finie . Or ceci ne peut se produire dans ce cas que si le dénominateur tend vers 0, c'est à dire si x tend vers -c."[/INDENT]

Et tu conclus en disant que si x = -1 est une asymptote verticale, c'est que -c=-1, d'où c=1.

Question aussi quand l'ennoncé dit "Admettre d pour asymptote" on doit prouver que d est une asymptote ou c'est une aide ?

Le verbe admettre ici ne fait pas référence à l'option "admettre que"/"prouver que" ! C'est simplement un mot du vocabulaire relatif aux courbes. Au lieu de dire "La courbe C a pour asymptote la droite (D)", on a coutume de dire "La courbe C admet pour asymptote la droite (D)". Toi, on te demande de prouver les choses ! Rien à voir donc avec le verbe "admettre" qui se trouve dans la phrase !

Tu t'en es bien tiré pour l'asymptote verticale. Réfléchis maintenant à l'asymptote horizontale ! Réfléchis, ou plutôt, Imagine, devrais-je dire !

[imagine]

Bonjour,

Comme "delta" est une asymptote horizontale d'équation y=2 il faut que x=0

Donc :

(ax+b)/(x+c) = 2 <=> b/c = 2

<=> b/-1 = 2 d'ou b=-2 car on sait que c=-1

Voila je sais pas du tout si cela est juste mais je n'arrive pas a determiner b autrement ...

Euh aussi j'ai fait une petite erreur dans l'ennoncé, C'est pas "admettre que d pour asymptote ..." MAIS c'est "admette d pour ..."


Puis pour a il suffit de resoudre et j'ai trouvé a=-1/2

Le probleme c'est de savoir si ce que j'ai fait existe ou pas .

[Quidam]

Comme "delta" est une asymptote horizontale d'équation y=2 il faut que x=0

!!! ??? Non, ça c'est n'importe quoi !
Quand tu fais x=0, tu calcules tout simplement f(0), qui n'a rien à voir avec une éventuelle asymptote ! Quand tu écris f(0)=2, tu écris simplement "que la courbe représentative de f passe par le point (x=0,y=2) !

La théorie des fonctions homographique en général est assez simple ; il n'y a pas de difficulté majeure.

Dans le cas général, une fonction homographique est de la forme :

Je suppose ici que c n'est pas nul, car si c'était le cas, on aurait tout simplement une fonction affine : , d étant bien sûr dans ce cas contraint à être différent de 0 !
On remarque d'abord que la fonction peut bien n'être pas définie lorsque le dénominateur est nul. Une "valeur interdite" est déterminée par l'équation : cx+d=0, soit . Ceci a également pour conséquence, que lorsque x s'approche de la valeur interdite , le dénominateur s'approche de 0. La question qui se pose alors est le comportement du numérateur. Un cas particulier est que le numérateur s'approche lui aussi de zéro ! Cela veut dire que la valeur interdite annulle aussi le numérateur, c'est à dire que :
ax+b est égal à zéro quand , c'est-à-dire que:



Autrement dit, les coefficients du numérateur sont proportionnels aux coefficients du dénominateur. En posant on peut alors écrire : a=tc et b=td, d'où ax+b=tcx+td=t*(cx+d) et f(x) s'écrit alors :
Constante
Mis à part que g(x) reste non défini pour la valeur interdite , g(x) est une constante pour toutes les autres valeurs de x. C'est bien sûr un cas sans beaucoup d'intérêt, mais qu'il ne faut pas oublier !
Si le numérateur ne s'approche pas de zéro lorsque x s'approche de la valeur interdite , alors f(x) devient de plus en plus grand en valeur absolue lorsque x s'approche de la valeur interdite. On est en présence d'une asymptote d'équation .

L'autre asymtote apparaît lorsque l'on fait tendre x vers l'infini. Dans le cas où a est lui aussi différent de 0, on peut écrire g de la manière suivante :



Il est alors facile de voir que lorsque x tend vers , tend vers 1 puisque tend vers 0, de même que qui tend aussi vers 1. Il en résulte donc que g(x) tend vers . Il y a une asymptote horizontale d'équation

Enfin, dans le dernier cas où a=0, on a qui tend vers 0 quand x tend vers et on a également une asymptote horizontale, cette fois d'équation y=0 : il s'agit de l'axe des x.

Exemple :
La valeur interdite fournit immédiatement l'équation de l'asymptote verticale : et la mise en facteur de 3x au numérateur et de 5x au dénominateur permet d'écrire :

ce qui montre immédiatement que g(x) tend vers quand x tend vers


Pour revenir à ton problème : f(x) = (ax+b)/( x+c)
(attention, les variables a, b et c n'ont pas la même signification que dans le baratin ci-dessus), on écrit :

(si a n'est pas nul)
Et sous cette forme, il est évident que f(x) tend vers a lorsque x tend vers . On a alors une asymptote horizontale d'équation y=a.
Si a=0, f(x)=b/(x+c) et f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers et l'asymptote est d'équation y=0.


Tout cela peut bien te paraître un peu long, et un peu compliqué. C'est vrai que c'est un peu compliqué, mais il n'y a pas de difficulté particulière ! C'est facile à comprendre ! Il faut simplement faire correctement le raisonnement.

Bon courage !

[imagine]

Apres réflexion j'ai fait n'importe quoi :briques:

Donc j'ai trouvé ca peut etre que c'est bon :

asymptote horizontale y=2

f(x)=2
x-> + infini

donc

2=(ax+b)/(x+c)
comme x tend vers l'infini b et c sont negligeables d'ou

2=ax/x
on reduit ca donne : a=2

Puis on resout et on trouve b=3