Probabilité conditionnelle (en continu)

[olive1978]

Bonjour,

J'ai une va continue qui suit une loi exponentielle de parametre 1.
s,t > 0. J'ai calcule P(X>s).
On me demande P(X>s+t|X>t) et l'interpretation de cette propriete.

J'ai pas du tout d'idee. Si vous en avez une, n'hesitze pas a m'en faire part.

Olivier

[BQss]

Bonjour,

J'ai une va continue qui suit une loi exponentielle de parametre 1.
s,t > 0. J'ai calcule P(X>s).
On me demande P(X>s+T|X>t) et l'interpretation de cette propriete.

J'ai pas du tout d'idee. Si vous en avez une, n'hesitze pas a m'en faire part.

Olivier

Salut

ecris bien l'énoncé deja...
P(X>s+t|X>t) pas "T"

P(X>s+t|X>t)=P(X>s) ca veut dire que la loi exponentielle est sans vieillissement. En interpretant X comme un temps, cela veut dire que peu importe le temps que tu as deja attendu, tu as autant de chance d'attendre un temps s qu'au tout debut, quand tu as deja attendu un temps t .
C'est a dire que le rapport de la surface de (t+s)/t vaut s/1=s quelque soit t, cette proportion reste constante, elle represente le temps d'attente s+t sachant qu'on a deja attendu t, soit en fait le temps d'attente s quand on a attendu 0, soit le temps d'attente s.

C'est du au propriété de la fonction exponentielle, tu vois que le rapport:

dp(X=t+s)/p(X>=t)=aexp(-a(s+t))/exp(-at)=aexp(-as)= psi(s) ne depend pas du temps d'attente t.

Graphiquement ca s'interprete par le fait que tu peux translater ta fonction exponentiel definie sur R+ de t (vers la gauche ici) :
exp(-a(x+t)=exp(-ax)/(exp(at)=exp(-ax)/A et c'est toujours une exponentielle que tu vois sur R+, juste que l'ordonnée a l'origine est divisé par A.
En multipliant par A puis en translatant la fonction exponentielle de t vers la gauche tu retombes sur la meme valeure:

P(X>=s)=P(X>=s+t)*A
P(X>=s)=P(X>=s+t)*exp(at)=P(X>=s+t)/P(X>=t)=P(X>=s+t|X>=t)

Pour ton exo on a :
P(X>=s)=exp(-as) et P(X>=s+t)=exp(-a(s+t))
donc P(X>=s+t|X>=t)=P(X>=s+t)/P(X>=t)=exp(-a(s+t))/exp(-at)=exp(-as)=P(X>=s)

[olive1978]

Salut

ecris bien l'énoncé deja...
P(X>s+t|X>t) pas "T"

P(X>s+t|X>t)=P(X>s) ca veut dire que la loi exponentiel est sans vieillissement. En interpretant X comme un temps, cela veut dire que peu importe le temps que tu as deja attendu, tu as autant de chance d'attendre un temps s qu'au tout debut, quand tu as deja attendu un temps t .

OK, j'edite ...
Mais, comment j'arrive au resultat ?

[fahr451]

l 'absence de mémoire caractérise même les var exp parmi les var à densités.

[BQss]

OK, j'edite ...
Mais, comment j'arrive au resultat ?

J'ai continué a ecrire le post, tu as peut-etre la reponse a ta question dedans...

[BQss]

l 'absence de mémoire caractérise même les var exp parmi les var à densités.

Oui tout a fait comme le dit fahr, ce qu'il y a de remarquable,c'est evidemment que la fonction exponentielle est la seule a offrir cette caracteristique parmis les fonctions continue(c'est a dire les fonctions du type a^x). Il va de soit alors qu'une variable aleatoire continue suit la loi eponentielle ssi elle verifie cette propriété.

Dans le cas discret c'est la loi geometrique qui est caracterisée par cette propriété.


PS:Une maniere simple de le voir, c'est tu coupes la fonction exponentielle n'importe ou, tu vois toujours une fonction exponentielle, à une constante pres.
Un exemple bien connu pour cette loi c'est la modelisation de la desintegration des elements d'un echantillon radioactif. Toute les propriété enoncées en terminale decoule en fait directement des propriétés remarquable de la fonction exponentielle(temps de demi vie, periode de desintegration etc), preuve qu'on prend vraiment les eleves pour des imbeciles.

Pour ces echantillons, un element a autant de chance d'attendre un temps s+t-t=s pour se desintegrer quand il a deja attendu un temps t meme si cela fait deja un temps t qu'il est excité. Du coup statistiquement periodiquement l'echantillon deminue de moitié, du tiers ou de ce que tu veux(il diminue de la meme proportion a tout moment), car les elements qui restent ont autant de chance de se desintegrer qu'au debut, il n'y a pas d'augmentation de la vitesse de desintegration avec le temps, et c'est exactement modelisable par les propriétés de la fonction exponentielle( tu retrouves en effet la construction de la fonction exponentielle, a chaque fois on diminue de la meme proportion au bout du meme temps quelquechose qui avait deja diminué de la meme proportion nt fois avant , avec 1/2 ca donne, 1/2*1/2*...1/2=(1/2)^(-nT/T)=1/2^(-x/T)=exp(-xln(1/2)/T)=exp(-ax) ou a est une periode de reduction ou temps statistique moyen de desintegration.

C'est a dire que la hauteur diminue de moitié(ou de n'importe quelle proportion a intervalle de temps regulier(phenomene sans vieillissement puisque le temps n'a pas d'influence sur la probabilité de desintegration):
exp(-a(t))/exp(-a(t+T'))=exp(aT')=T=2 soit T'=ln(2)/a correspond par exemple a la periode constante necessaire a n'importe quel moment pour statistiquement voir l'echantillon diminuer de moitier.

[olive1978]

OK, bien compris, merci beaucoup ...