Aides sur le chapitre Logarithme .

[Franky0601]

Voilà, j'ai un DM à rendre demain et il me manque juste deux petites questions .
Je vais essayer de vous donner le max d'aides pour comprendre lol...

h(x) = 2xlnx+(x-1)ln(x-1)-3x
J'ai trouvé h'(x) = 2lnx + ln(x-1)

Ensuite on me dit
On considere une machine produisant un composé chimique liquide .
Piour qu'elle soit rentable, cette machine doit produire au moins 2 hectolitres .
De plus, le liquide produit est danfgereux et impose une fabrication maximale de 9 hectolitres avant révision de la machine
La valeur du cout total pour tout x de [2;9] est
CT(x) = h(x) +10 exprimé en milliers deuros .

a)Calculez le cout total des deux premiers hectolmitres de produit
J'ai trouvé CT(2)=4ln2+4

b)Déterminer la valeur du cout marginal c(x) pour tout x de [2;9], en millers d'éuros par hectolitre .

Là j'hésite un peu mais j'ai fait CT'(x) et donc (h(x)+10)' ce qui pour moi revient a donner h'(x) et donc 2lnx+ln(x-1)
Mais je doute ...

Justifier que le cout marginal est positif sur [2;9] .
Alors là j'ai tourné le probleme sous toutes les formes et je n'y suis pas arrivé alors si vous trouvez bravo (mais merci de l'expliker clairement)

Que peut on en deduire pour le cout total .

Ba comme on doti montrer que c(x) est positif sur [2;9], je pense que on devra en deduire que CT(x) est croissante sur cet intervalle

c)Pour quelles quantités le cout marginal est il supérieur a 4000€ par hectolitre ?

Alors là j'y arrive pas .
MERCI INFINIMENT .

[anima]

Voilà, j'ai un DM à rendre demain et il me manque juste deux petites questions .
Je vais essayer de vous donner le max d'aides pour comprendre lol...

h(x) = 2xlnx+(x-1)ln(x-1)-3x
J'ai trouvé h'(x) = 2lnx + ln(x-1)

h'(x) = (2xlnx)' + ((x-1)ln(x-1))' - 3
= 2(ln(x) + 1) + (ln(x-1) + 1) - 3
= 2ln(x) + ln(x-1) -1
(Tu as oublié que (uv)' != u'v' )
Le coût marginal est positif...tu sais résoudre une inéquation avec des ln? :ptdr:

[Franky0601]

h'(x) = (2xlnx)' + ((x-1)ln(x-1))' - 3
= 2(ln(x) + 1) + (ln(x-1) + 1) - 3
= 2ln(x) + ln(x-1) -1
(Tu as oublié que (uv)' != u'v' )
Le coût marginal est positif...tu sais résoudre une inéquation avec des ln? :ptdr:

euh je t'en veux pas mais (uv)' = u'v+uv'

[anima]

euh je t'en veux pas mais (uv)' = u'v+uv'

!= : différent de...et je sais très bien, merci.

xln(x)' = (x)'ln(x) + (lnx)'x = ln(x) + 1/x*x = ln(x)+1

Tu crois que j'ai fait l'erreur, ou que TU as fait l'erreur? :doh:

[Franky0601]

!= : différent de...et je sais très bien, merci.

xln(x)' = (x)'ln(x) + (lnx)'x = ln(x) + 1/x*x = ln(x)+1

Tu crois que j'ai fait l'erreur, ou que TU as fait l'erreur? :doh:

On va voir
Poiur moi :
(2xlnx)' = 2lnx +2

((x-1)ln(x-1))' = ln(x-1) +1

(-3x)' = -3

Donc h'(x) = 2lnx+ln(x-1)


Si tu trouves que ce que j'ai fait est juste merci de m'aider pour la suite

[maturin]

h'(x) = (2xlnx)' + ((x-1)ln(x-1))' - 3
= 2(ln(x) + 1) + (ln(x-1) + 1) - 3
= 2ln(x) + ln(x-1) -1

non non la formule de franky est juste
car 2(ln(x)+1)=2ln(x)+2
et 2+1-3=0
donc h'(x)=2ln(x)+ln(x-1)


b) pour le cout marginal je suis d'accord avec toi c'est h'(x)
sur [2,9] c'est bien positif car ln(x)>0 et ln(x-1)>=0 sur cet intervalle.
donc el coût est bien croissant

c) il faut résoudre h'(x)>4 k€/hl
soit 2ln(x) + ln(x-1)>4
soit pour une valeur supérieur à ~4.158 hectolitres

sinon tu peux écrire
2ln(x)+ln(x-1)=ln(x²(x-1))>4
soit x²(x-1)>exp(4)
soit mais bon t'es pas sensé savoir résoudre les équation du 3eme degré.

[Yawgmoth]

Je me permets d'écrire mon petit calcul ^^

Pour moi ça donne :

[Franky0601]

non non la formule de franky est juste
car 2(ln(x)+1)=2ln(x)+2
et 2+1-3=0
donc h'(x)=2ln(x)+ln(x-1)


b) pour le cout marginal je suis d'accord avec toi c'est h'(x)
sur [2,9] c'est bien positif car ln(x)>0 et ln(x-1)>=0 sur cet intervalle.
donc el coût est bien croissant

c) il faut résoudre h'(x)>4 k€/hl
soit 2ln(x) + ln(x-1)>4
soit pour une valeur supérieur à ~4.158 hectolitres

sinon tu peux écrire
2ln(x)+ln(x-1)=ln(x²(x-1))>4
soit x²(x-1)>exp(4)
soit mais bon t'es pas sensé savoir résoudre les équation du 3eme degré.

Pour le b) je suis daccord pour ln x >0
mais peut tu me détailler plus pour que je comprenne bien car c'est pas tout de tout recopier pour moi .

POur le c) c'est ce que j'ai fait 2lnx + ln (x-1) > 4
Mais je n'arrive pas à la résoudre .

[Franky0601]

Je me permets d'écrire mon petit calcul ^^

Pour moi ça donne :

C'est exactement ça

[Franky0601]

C'est vraiment le 4 qui me gene pour le c)
Sinon si y aurait pas le 4 je ferai
2ln x = -ln(x-1)
lnx² = ln1-ln(x-1)
lnx² = ln (1/(x-1))
x² = 1/(x-1)
et produit en croix mais bref ca ne sert a rien
Sniff je sais plus quoi faire

[maturin]

ben y a rien de compliqué.

La fonction ln(x) est positive pour x>=1
donc la fonction ln(x-1) est positive pour x>=2
Tu travailles sur [2,9] donc ça marche....

Et la somme de 2 nombres poisitives est positive.

Y rien de bien sorcier là dedans.

Pour résoudre l'équation le mieux c'est de donner la valeur que je t'ai donnée en disant que tu l'as calculée par dichotomie.
Si tu ne sais pas ce que c'est que la dichotomie cherche sur google, c'est une méthode pour rechercher une solution de manière approchée. Tu peux aussi tracer la courbe à la caluclette et lire le résultat en zoomant mais c'est moins classe.

Enfin tu peux aussi relire l'énoncé pour être sur que c'est bien ce qu'on a fait. Souvent les énoncés sont fait de facon à ce qu'on trouve un résultat juste. Genre c'est pas ln(4) k€ plutot que 4k€ car là t'aurais une solution évidente x=2 pour ton équation du 3eme degré...

[Yawgmoth]

C'est clair que la résolution d'une équation du troisième degré c'est pas cool.

A propos de ça maturin, la formule de Cardan ça te dit quelque chose ? Si oui, est-ce vraiment la seule manière de résoudre une équation du troisième degré quelle qu'elle soit ?

[Franky0601]

Rolala....L'inéquation me stresse, la dichotomie on sait pas ce que c'est et la prof a hooreur qu'on balance une réponse comme ça, l'inéquation doit se résoudre c'est certain et je sais pas comment :(

Ensuite pour ln(x-1) > 0 (et c'est pas plus grand ou egal car ln0 n'existe pas!)
Donc la réponse serait x>2 (et pas plus grand ou égal) donc elle serait pas définie sur 2 enfin c'est compliqué ça me stresse !

[maturin]

tu as x dans [2,9] donc x-1 ne sera jamais nul sur cet intervalle donc tu n'as pas de probleme de ln(0).
si tu veux tu appelles y=x-1
ln(x-1)=ln(y)
x dans [2,9] donc y dans [1,8] et ln(y)>=0 sur [1,8]

si tu comprends toujours pas prend un peu de repos et revient là avec la tête froide dessine ta courbe ln(x), ta courbe ln(x-1) regarde sur l'intervalle [2,9], etc... :dodo:


Pour Yawgmoth.
Oui je connais la formule de cardan mais elle est très moche et n'est pas au programme scolaire. On peut la voir sur un exercice mais cela ne présnete pas spécialement d'intérêt car c'est très calculatoire.
Enfin son seul mérite est de donner la formule exacte d'une racine d'un polynome du 3eme degré. Par contre rien que le fait d'écrire cette solution prend une bonne place sur ta page vu le nombre de racine cubique et racine qu'elle fait intervenir. Généralement les énoncés de maths sont suffisament bien faits pour ne pas devoir l'utiliser. Et en dehors des exos de maths si tu veux résoudre une équation du 3eme degré tu utilises une valeur approchée.
Et à ma connaissance la formule de Cardan est l'unique moyen de trouver une solution à une équation du 3eme degré, quand tu ne peux pas trouver de solutions évidente.

[Franky0601]

Ca y est j'ai compris .
Par contre pour le c) je n'y arrive pas et il me faut des détails elle n'accepte pas une réponse tombée du ciel
il faut clairement réqsoudre une inéquation mais peut etre que c'est pas celle là ou je sais pas quoi mais bon c'est chiant!

[maturin]

ben si ton énoncé est celui que tu nous a donné y a pas de miracle à faire
l'inéquation n'as pas de solution évidente.

Donc soit tu t'arrêtes à l'inéquation
tu dis que h'(2)=... inférieur à 4
quand x tend vers l'infini h'(x) tend vers +inf
h'(x) croissante
donc pour aller de h'(2) à +infini alors tu dois passer une et une seule fois par al valeur 4 (théroème des valeurs intermédiaires)

Cela prouve l'existence unique de la solution.


Après si tu en veux une valeur approchée je t'ai proposé 2 méthodes :
- lire la valeur sur ta calculette en tracant la courbe
- utiliser une méthode telle que la dichotomie (la dichotomie consiste à calculer plein de valeur de h'(x), si tu est au dessus de 4 tu prends un x plus petit, si tu es en dessous de 4 tu prends un x plus grand) c'est un peu le jeu de je pense à un prix devine le en faisant des propositions où je te réponds par + ou par -

[Franky0601]

je vais vite essayer ta méthode avec h'(2) qui m'a l'air interessante mais il n'yaura pas qu'une solution puisque l'inéquation c'est pas EGAL mais PLUS GRAND QUE 4 donc je determine h'(x)=4 et après je dirais que les valeurs de x superieures a la valeur trouvées sont aussi solutions

Est ce que je peux faire ça?
Je me plonge dans mes calculs, je te tiens au courant

[maturin]

oui c'est ça.
Tu trouves une solution approché de x tel que h'(x)=4
et tu conclues que c'est >4 pour tous les nombres supérieur à cet x.

[maturin]

si tu sais que f(a)<4 et que f(b)>4
ta solution f(x)=4 est donc dans [a,b]

et l'algorithme de dichotomie est un peu opitimisé:
si tu connais a et b tels que f(a)<4 et que f(b)>4
tu tentes la proposition c=(a+b)/2 (mileu de a et de b)
si f(c)>4 alors ta solution est sur [a,c]
si f(c)<4 alors ta solution est sur [c,b]

ça a le mérite de couper ton intervalle de solution possible en 2 partie égale à chaque itération de ton algorithme.