[seconde] Rectangles et aires

[martin3000]

Bonjour,
J'ai eu un exerxice de dm de maths, ça fait une heure que je cherche la solution mais je ne la trouve pas.
Voila le probleme :
Un champ rectangulaire a pour longueur 50m et pour largeur 40 m. On diminue sa longueur de x metres et on augmente sa largeur de x metres (0On se propose d'étudier comment varie son aire.

Déterminer les valeurs de x pour lesquelles :
a)l'aire augmente ;
b)l'aire ne change pas ;
c)l'aire diminue.

Je pense qu'il faut faire un tableu de variation.

Merci beaucoup d'avance !

[maf]

Donnée de base :

L-x où L est la longueur L=50
l+x où l est la largeur l=40

L'aire est donnée par : A = (L-x)(l+x)

Ce qui en développant donne -x^2 + (L-l)x + Ll=A

d'où -x^2 + 10x + 2000 = A

Aire de départ A=2000

D'où -x^2 + 10x = 0 --> tu as direct les zéros de la fonction ... dérive une fois pour regarder comment évolue la fonction, trace le graphe éventuellement de -x^2 + 10x + 2000 = A en fonction de x ... et le tour est joué

[Le Yaude]

Salut ! Alors comme t'es en seconde, j'en déduis que malheureusement tu ne connais pas encore le bonheur des dérivées pour faire des tableaux de variations. (je dis dommage pq avec une dérivée le problème tient en 5 lignes ! lol). On va essayer de faire sans.
Notons A0 l'aire initiale. A0 = 50*40 = 2000 (je me passerai des unités)

maintenant, tu diminues la longueur de x et augmente sa largeur de x, en fonction de x, ton aire vaut donc
A(x) = (50 - x)(40 + x)

Maintenant tu veux savoir quand l'aire reste la même, celà revient à résoudre :
A(x) = A0 (tu développes, les 2000 s'en vont, x en facteur et c'est gagné)

Pour savoir quand l'aire augmente, celà revient à résoudre :
A(x) > A0
<==> (50 - x)(40 + x) > 2000 tu développes, les 2000 se taillent, un petit tableau de signe et c'est gagné

de même, savoir quand l'aire diminue revient à résoudre A(x) < A0, même technique qu'au dessus (en fait tu fais les deux d'un coup avec un seul tableau de signe, sinon ça te fait refaire 2 fois le même pour rien).

Voilà, j'espère que ça t'aide ! (et j'espère que t'as déjà vu les tableaux de signes sinon je vois pas comment faire).

[martin3000]

L'aire de base est 40*50 = 2000 ;)

Le probleme c'est que je cherche a démontrer (non graphiquement) que le courbe est croissante sur tel intervalle et decroissante sur tel autre intervalle :s

[martin3000]

Salut ! Alors comme t'es en seconde, j'en déduis que malheureusement tu ne connais pas encore le bonheur des dérivées pour faire des tableaux de variations. (je dis dommage pq avec une dérivée le problème tient en 5 lignes ! lol). On va essayer de faire sans.
Notons A0 l'aire initiale. A0 = 50*40 = 2000 (je me passerai des unités)

maintenant, tu diminues la longueur de x et augmente sa largeur de x, en fonction de x, ton aire vaut donc
A(x) = (50 - x)(40 + x)

Maintenant tu veux savoir quand l'aire reste la même, celà revient à résoudre :
A(x) = A0 (tu développes, les 2000 s'en vont, x en facteur et c'est gagné)

Pour savoir quand l'aire augmente, celà revient à résoudre :
A(x) > A0
(50 - x)(40 + x) > 2000 tu développes, les 2000 se taillent, un petit tableau de signe et c'est gagné

de même, savoir quand l'aire diminue revient à résoudre A(x) < A0, même technique qu'au dessus (en fait tu fais les deux d'un coup avec un seul tableau de signe, sinon ça te fait refaire 2 fois le même pour rien).

Voilà, j'espère que ça t'aide ! (et j'espère que t'as déjà vu les tableaux de signes sinon je vois pas comment faire).

Merci pas de probleme j'ai vu les tabeau de signe.

La premiere fois j'ai fait pareil que toi et le prof m'a dit que ce n'était pas ca

Il faut determiner les intervalle pour lesquels f(x) est croissante et pour lesquels f(x) est décroissante :s

[Le Yaude]

Euh ben trouver les variations d'une courbe sans savoir faire une dérivée, je vois pas... Tu mettras la solution quand tu l'aurs ? je suis curieux ! lol

[maf]

Tu peux démontrer que f(x) est croissante en disant que pour tout x,y compris dans ton intervalle avec y>x alors f(y)>f(x)

Mais ... pkoi faire ça comme ça ... :mur:

[martin3000]

Euh ben trouver les variations d'une courbe sans savoir faire une dérivée, je vois pas... Tu mettras la solution quand tu l'aurs ? je suis curieux ! lol

ok :p

Qu'es que c'est les déviées ?

Je crois etre sur la voie mais ...

On a f(x) = 2000+10x-x²

Si on dit : soit X et Y définie dans D = ]0;50[ tel que x f( X ) - f( Y )

( E ) 2000 + 10x - x² - 2000 - 10y + y²

( E ) 10x - 10y + y² - x²

Mais aprés je vois pas du tout :s

[Le Yaude]

Bon ok je suis pas doué !! MDR !! Merci Maf !!

[martin3000]

Es que vous avez une idées de ce qu'il faut faire ensuite ? (si c'est bien ca qu'il faut faire :s )

[maf]

Résouds par rapport à y ...

Ton discrimant devra être positif (b^2-4ac) et tes solutions comprises entre 0 et 50

pose y^2-10y-x^2+10x = 0

Le dérivée ... c'est qqch qui te simplifiera la vie plus tard ;-)

[martin3000]

Je comprend pas ce que tu veut dire :briques:

[maf]

On a maintenant poser la condition que c'était croissant ...

donc on résoud l'équation par rapport à une des deux inconnues ...

y^2 - 10y + (10x-x^2) = 0

a = 1
b = -10
c = (10x-x^2)

tu connais la résolution d'une équation du second degré ??

-b plus ou moins racine de b carré moins quatre ac le tout sur deux a (dsl mais je maîtrise pas l'écriture maths TEX)

ton b carré moins quatre ac doit être positif ou nul ... --> conditions sur x
ton y doit être compris entre 0 et 50 --> conditions sur x

[martin3000]

Mais en tracant la courbe sur la calculatrice on remarque que la fonction est croissante en ]0;5] et décroissante en [5;50[

Désolé mais je ne cromprend toujours pas ce que tu veut dire et ou tu veut en venir ?

[martin3000]

Es que quelqu'un a une solution s'il vous plait ? Parce que je vais bientot aller me coucher ?? :hein:

[martin3000]

S'il vous plait !

Es que quelqu'un pourrai m'aider ??

Merci infiniment