Approximation de e

[souris bleue]

coucou, pouvez-vous m'aider pour l'exercice suivant? merci beaucoup

Approximation de e

1) On considère, pour n entier naturel, la fonction Fn définie sur R par Fn(x) = (de n à k=0) de (x^k)/(k!) = 1+ x/1! + x²/2! + ……… + (x^n)/n!
Vérifier que Fn(0)=1 et que, pour tout n appartenant à N, Fn’=Fn-1

2) On considère, pour n entier naturel, la fonction Gn définie sur R par Gn(x)=e^(-x) * Fn(x)
Vérifier que Gn(0)=1 et que, pour tout n appartenant à N, Gn’(x)=e^(-x)*(x^n/n!)
En déduire que, pour tout réel positif x, Gn(x) supérieur ou égale à 1

3) On considère, pour n entier naturel, la fonction Hn définie sur R par Hn(x)=Gn(x) – [x^(n+1)]/[(n+1)!]
Vérifier que Hn(0)=1 et que, pour tout n appartenant à N, Hn’(x)=(e^(-x)-1)(x^n/n!)
En déduire que, pour tout réel positif x, Hn(x)inférieur ou égale à 1 puis que Gn(x) est inférieur ou égale à 1+[x^(n+1)]/[(n+1)!]

4) De ce qui précède, déduire que, pour tout réel positif x, lim Gn(x)=1 quand n tend vers +l’infini et que , lim Fn(x)=e^x quand n tend vers +l’infini

5) Déterminer la limite de la suite Fn(1) = (de n à k=0) de 1/(k!) = 1+ 1/1! + 1/2! + ……… + (1^n)/n!
Comparer F10(1) et e

[armor92]

Bonsoir,

1)
Fn(0) = 1+ 0/1! + 0²/2! + ……… + (0^n)/n! = 1

On vérifie que pour tout x réel :
Fn'(x) = 1 + 2x/2! + 3x²/3! + ....... + n x^(n -1)/ n!
Fn'(x) = 1 + x + x²/2! + ........... + x^(n-1)/(n-1)! = Fn-1(x)

[armor92]

2)
Gn(0) = e^(-0) Fn(0) = 1

Gn'(x) = -e^(-x) * Fn(x) + e^(-x) * F'n(x) = e^(-x) * (Fn'(x) - Fn(x))
Gn'(x) = e^(-x) * (Fn-1(x) - Fn(x)) = - e^(-x) * (x^n/n!)

Je crois qu'il y a une erreur dans l'énoncé !!!

On a Gn'(x) = - e^(-x) * (x^n/n!) et non Gn'(x) = e^(-x) * (x^n/n!)

Pour tout x positif, Gn'(x) <= 0, la fonction est donc décroissante sur R+.

On en déduit : Pour x >= 0, Gn(x) <= Gn(0) donc Gn(x) <= 1

Peux tu vérifier l'énoncé ?

[souris bleue]

J'ai relue l'énoncé et, ce que j'ai écrit est bien ce qui est écrit sur la feuille mais, je crois que c'est le prof qui c'était tompé car justement, il y en a qui ont dit aujourd'hui qu'il devait y avoir une erreur car, on ne trouve pas ce que l'on devrait avoir. Je demanderais donc à mon professeur mais, je ne le vois pas avant samedi. J'espère que je peux quand même faire une partie de l'exercice malgrès cela. :happy2:

[souris bleue]

Coucou, pour la question 2, je pense que le prof s'est trompé dans l'énoncé car, je pense qu'il a oublié d'écrire le signe - dans le résultat de Gn'(x).
Pour la question 3, j'ai j'ai réussi à vérifier (bien évidemment, j'ai corrigé la faute que le prof a dû faire dans la question précédente) mais, je n'arrive pas à faire les déductions, j'ai une petite idée pour Hn(x) inférieure ou égale à 1 mais, je ne sais pas vraiment l'expliquer en le réécrivant.
Par contre, je n'arrive pas à faire les questions 4 et 5.

[allomomo]

Salut,

... Fn(x) = (de n à k=0) ...

Il vaut mieux dire de k=0 à k=n (ou bien de 0 à n)

[souris bleue]

merci de me l'avoir dit

[armor92]

3)
Je transforme l'énoncé :
On considère, pour n entier naturel, la fonction Hn définie sur R par Hn(x)=Gn(x) + [x^(n+1)]/[(n+1)!]

Hn(0) = Gn(0) + [0^(n+1)]/[(n+1)!] = 1
Hn'(x) = - e^(-x) * (x^n/n!) + x^n/n! = (1 - e^(-x)) * (x^n/n!)

Pour tout réel positif x, Hn'(x) >=0, donc Hn croissante sur R+.
On en déduit : Pour tout réel positif x, Hn(x) >= Hn(0) = 1
Gn(x) + [x^(n+1)]/[(n+1)!] >= 1
Donc Gn(x) >= 1 - [x^(n+1)]/[(n+1)!]

[armor92]

Du 2) et du 3), on déduit que :
1 - [x^(n+1)]/[(n+1)!] <= Gn(x) <= 1

Pour x fixé :
lim [x^(n+1)]/[(n+1)!] = 0
n->infini

On en déduit :
lim Gn(x) = 1
n->infini

Comme Fn(x) = Gn(x) * e^(x)

On en déduit :
lim Fn(x) = e^(x)
n->infini

[armor92]

5)
Lim Fn(1) = e^(1) = e
n->infini

F10(1) = 2,718281802...
e = 2,718281828...

e - F10(1) = 2,6 * 10^(-8)

[souris bleue]

merci de ton aide, par contre, je ne comprends pas trop ce que tu as fait pour les 2 dernières questions, je crois que c'est cette histoire de n qui me dérange

[armor92]

merci de ton aide, par contre, je ne comprends pas trop ce que tu as fait pour les 2 dernières questions, je crois que c'est cette histoire de n qui me dérange

Dis moi quelle étape tu ne comprend pas exactement

[souris bleue]

je ne comprends déjà pas trop cette étape
[x^(n+1)]/[(n+1)!] <= Gn(x) <= 1 :dodo:

[armor92]

[quote="souris bleue"]je ne comprends déjà pas trop cette étape
[x^(n+1)]/[(n+1)!] = 1
Comme Hn(x)=Gn(x) + [x^(n+1)]/[(n+1)!], on a l'inégalité :
Gn(x) + [x^(n+1)]/[(n+1)!] >= 1
d'où :
Gn(x) >= 1 - [x^(n+1)]/[(n+1)!] (2)

Les deux inégalités (1) et (2) peuvent s'écrire :
1 - [x^(n+1)]/[(n+1)!] <= Gn(x) <= 1