Inequation compliquee !!

par **Chelchu** » 28 Jan 2007, 13:41

Bonjour tout le monde,
Voila un devoir maison de maths de TS j'ai a peu pret reussi le reste mais la je skotche un peu !

Exercice 5:
Demontrer que pour tout x et pour tout y |cos x - cos y| < |x - y|

Je ne sais meme pas par où commencer...
Merci d'avance pour votre aide

par **bitonio** » 28 Jan 2007, 14:32

l'inégalité de la moyenne semble bien pour partir

je regarde

par **Nightmare** » 28 Jan 2007, 14:36

La dérviée de cos étant majorée par 1 en valeur absolue, il est clair que cos est 1-lipschitzienne avec le théorème des accroissements finis.

:happy3:

par **Chelchu** » 28 Jan 2007, 14:36

oui dsl c'est bien un inferieur ou egal je suis desole

par **Chelchu** » 28 Jan 2007, 14:38

Nightmare je suis en Ts le theore de accroissement fini est au programme de prepa
Notre prof a bien specifier en plus qu'il voulait pas de ca parceque ca voudrait dire que la resolution ne viendrai pas de ns
Merci qd meme

par **bitonio** » 28 Jan 2007, 14:38

Nightmare a écrit:La dérviée de cos étant majorée par 1 en valeur absolue, il est clair que cos est 1-lipschitzienne avec le théorème des accroissements finis.

:happy3:

oui c'est évident mais je cherche une solution "lycée"...

par **Chelchu** » 28 Jan 2007, 14:39

merci bitonio

par **fahr451** » 28 Jan 2007, 14:42

On connait le calcul intégral au lycée?

si oui cos ' = - sin continue et l sin l =<1

donc pour x

cosy - cos x = intégrale de x à y de - sint dt

on prend les l l
l cos y - cos x l = l intégrale l =< intégrale de la valeur absolue =< intégrale de 1 = y - x

par **bitonio** » 28 Jan 2007, 14:45

pas bête ! On fini par oublier les méthodes simples quand on a trop de théorèmes...

par **Chelchu** » 28 Jan 2007, 14:49

le calcul integral ona pas fait encore c en cours mais c pas termine
Merci qd meme

par **Chelchu** » 28 Jan 2007, 14:59

un methode plus simple ne vous viendrais pas a l'esprit

par **Nightmare** » 28 Jan 2007, 15:05

Hum une idée :

On sait que la limite du taux d'accroissement de cos ,en y par exemple, est majorée en valeur absolue par 1. On peut en déduire qu'au voisinage de y quelconque, (cos(x)-cos(y))/(x-y) est majoré en valeur absolue par 1. On peut alors étendre ce résultat à R tout entier en utilisant la périodicité de cos.

par **fahr451** » 28 Jan 2007, 15:30

hum nightmare

deux pbs

1) ce n'est pas parceque la limite est majorée par 1 que la fonction l'est localement : par exemple f(x) = x+1 et x0 = 0 ;essaye de majorer localement en 0 par 1...
2) quand bien même comment passerait-on du local en tout point au global sur R ? comment utiliserais tu la périodicité concrètement ?

par **Chelchu** » 28 Jan 2007, 16:34

Merci de vos reponses. Un seul petit probleme ! Je suis pas en prepa ! Et la methode par le calcul integral n'est pas encore envisageable nous n'avons pas attaque le calcul integral et c'est a rendre pour dans deux semaines donc...

Le prof nous a dit qu'on devrait à un moment de notre raisonnement reconnaitre une derivee et que ca roulerai tt seul ! seul probleme je sais pas par ou commencer!!!

Si vous aviez une solution lycee ca m'aiderai bcp
Merci

par **bitonio** » 28 Jan 2007, 17:01

tu as aussi la solution tu fixes y et tu dérives... comme le choix de y est arbitraire, alors ca marche pour tout y...

Ps: cette méthode est super moche :ptdr:

par **Chelchu** » 28 Jan 2007, 17:05

Merci bitonio mais tu voudrais pas etre un peu plus precis la je vois pas trop comment m'y prendre
Merci d'avance

Inequation compliquee !!

inequation compliquee !!

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