Dm trigonométrie

[jiji67]

Bonsoir. voila j'ai un dm en math à faire est j'ai quelque problème à le résoudre
voila l'énoncé:
Soit un point M, de coordonnées cartésiennes (x,y) et de coordonnées polaires [r,X], et la droite D d'équation cartésienne y =-4. soit H la projection orthogonale de M sur D et k un nombre strictement positif. le point M vérifie la relation OM= k Mh

1) on pose k=1/2
a: exprimer r en fonction de y
b: démontrer qur r s'exprime en fonction de O pour O appartient ]0 , 2p1 pi[
c: démonter que r= 4/ ( 2-sin O)
d : représenter le lieu géométrique des points M à l'aide d'une calculatrice graphique
e: démontrer que x² + 3/4(y+ 4/3)² = 16/3

pour la a: j'ai fait 1/2 MH = y +4

Est-ce juste?

Sinon quelqu'un pourrait aussi m'aider pour les question b) et e) merci d'avance :happy2:

[armor92]

Bonsoir jiji,

Pour la a)
Le point H projection orthogonale de M sur D a la même abcisse que le point M et a pour ordonnée -4
H a donc pour coordonnées (x,-4)
La distance MH est égale à y-(-4) = y + 4

Par hypothèse on sait que OM = k MH
Ici k = 1/2 et OM=r
On a donc r = 1/2(y+4) = y/2 + 2

Pour la b)
Je suppose que O désigne Tétha où TéTha est l'angle (Ox,OM)

On sait que x = r cos (Tétha) et y = r sin (Tétha)
D'après la relation vu au a)
r = y/2 + 2 (1)
On remplace y par r sin (Tétha) dans la relation (1)
r = r sin(Tétha) / 2 + 2
Il y a donc une relation qui lie r et Tétha

[jiji67]

merci ui j'ai vu qu'il y a une relation qui va donner donc après r= 4/ ( 2-sin O)
( question c) aussi)...merci! mais se que je ne comprend pas c'set quand l'énoncé dit...appartient ]0 , 2p1 pi[ comment on peut la savoir?

merci de ton aide encore :briques:

[armor92]

Pour le c)
On a vu dans le b) r - r sin(Tétha) / 2 = 2

On peut transformer cette relation en :
r(1 - sin(Tétha)/2 ) = 2
2 - sin(Tétha ) ne s'annule jamais don on peut écrire :
r = 4 / (2 - sin (Tétha))

d)
Si on fait la représentation graphique, on doit trouver que l'ensemble des points M forme une ellipse.

e)
On a démontré dans le a) que r = y/2 + 2
On cherche à transformer cette relation pour l'exprimer en fonction de x et y
On multiplie par 2 :
2r = y + 4
On l'éleve au carré :
4r² = y² + 8y + 16
On sait que r²=x²+y², donc on a :
4x² + 4y² = y² + 8y + 16
4x² + 3y² - 8y = 16
x² + 3/4y² - 2y = 4
x² + 3/4(y² - 2 * 4/3 y) = 4
x² + 3/4(y - 4/3)² - 4/3 = 4
x² + 3/4(y - 4/3)² = 4 + 4/3 = 16/3
On trouve la relation que tu dois démontrer à un signe près.
Je vérifie mes calculs...

[jiji67]

merci!!!! mzis j'ai tous faut...pour la d) moi je pensais que la représentation graphique est une parabole!!! :triste:

[jiji67]

merci de ton aide quand mème sa m'a vraiment beaucoup aider!!!! :we:
c'est vraiment sympas de ta part!

enfaite j'ai un autre exercice du mème genre


Soit un point M, de coordonnées cartésiennes (x,y) et de coordonnées polaires [r,X], et la droite D d'équation cartésienne y =-4. soit H la projection orthogonale de M sur D et k un nombre strictement positif. le point M vérifie la relation OM= k Mh

1) on pose k=2
a: exprimer r en fonction de y
b: démontrer qur r s'exprime en fonction de O pour O appartient ]-7pi/6 , pi/6[
c: démonter que r= 8/ ( 1-2sin O)
d : représenter le lieu géométrique des points M à l'aide d'une calculatrice graphique
e: démontrer que x² - 3(y+ 16/3)² = -64/3

pour la a j'ai trouver : k=2, OM= 2 Mh donc r= OM= 2 Mh = y+8

est-ce juste?

par contre pour la b) je c'est pas je bloque...au suivante pareil mème si c'est la mème méthode que les autre! pourquoi appartient ]-7pi/6 , pi/6[
?

merci d'avance pour ton aide

[armor92]

Pour la a)
r = OM = 2MH = 2y + 8 et non pas r = y + 8 comme tu l'a écris

b)
On remplace y par r sin(Tétha)
r = 2y + 8 devient r = 2 r sin(Tétha) + 8
r(1 - 2 sin (Tétha)) = 8

Il faut que 1 - 2 sin(Tétha) > 0 !!! En effet r doit etre positif.
1 - 2 sin(Tétha) > 0 est équivalent à sin(Tétha) < 1/2,
c'est à dire Tétha appartient à ]-7pi/6 , pi/6[

c)
r= 8/(1 - 2 sin(Tétha))

d) Si tu fais une représentation graphique tu dois trouver une branche d'hyperbole

e)
On part de la relation r = 2y + 8
On éleve au carré
r² = 4y² + 32y + 64
x² + y² = 4y² + 32y + 64
x² - 3y² -32y = 64
x² - 3(y² + 32/3y) = 64
x² - 3(y + 16/3)² + 256/3 = 64
x² - 3(y + 16/3)²= 64 - 256/3 = -64/3

[jiji67]

merci pour ton aide! mais je ne comprend pas pourquoi = OM = 2MH = 2y + 8 et non r= y +8 comme je l'avais trouver...je ne comprend pas comment tua trouver...

et dsl...je ne comprend pas pourqui avant on trouve une ellipse et là une branche d-hyperbole ( dsl car je ne peut pas le faire sur ma calculatrice car je n'arrive pas avec les coordonnées polaire, faut que je demande à mon prof)

merci de ton aide encore

[armor92]

merci pour ton aide! mais je ne comprend pas pourquoi = OM = 2MH = 2y + 8 et non r= y +8 comme je l'avais trouver...je ne comprend pas comment tua trouver...
n'arrive pas avec les coordonnées polaire, faut que je demande à mon prof)

merci de ton aide encore

MH = distance de M à H = y - (-4) = y + 4

On doit avoir OM = k MH et par hypothèse k = 2
Donc r = OM = k ( y + 4 ) = 2 ( y + 4 ) = 2 y + 8

[jiji67]

merci tout beaucoup pour ton aide :we:

[jiji67]

bonjour merci encore de votre aide j'aurais encore une petite question pour
2) e: démontrer que x² + 3/4(y+ 4/3)² = 16/3

il faut en déduire après y en fonction de x lorque y est plus grand
ou égale que 4/3

pour le 3) e)e: démontrer que x² - 3(y+ 16/3)² = -64/3
après avoir démonter il faut aussi en déduire après y en fonction de x lorque y est plus grand ou égale que -16/3

quelqu'un aurait une petite aide? merci d'avance à ceux qui pourrait m'éclairer

[jiji67]

moi j'ai penser qu'il faut utiliser la relation r= racine de x² + y²...qu'il faut remplacer... :triste:

quelqu'un aurait une idée?

[jiji67]

??? je vous remercie d'avance

[armor92]

bonjour merci encore de votre aide j'aurais encore une petite question pour
2) e: démontrer que x² + 3/4(y+ 4/3)² = 16/3

il faut en déduire après y en fonction de x lorque y est plus grand
ou égale que 4/3

pour le 3) e)e: démontrer que x² - 3(y+ 16/3)² = -64/3
après avoir démonter il faut aussi en déduire après y en fonction de x lorque y est plus grand ou égale que -16/3

quelqu'un aurait une petite aide? merci d'avance à ceux qui pourrait m'éclairer

Bonsoir jiji,

Pour le 2) e) je trouve l'équation :
x² + 3/4(y - 4/3)² = 16/3 et non pas x² + 3/4(y + 4/3)² = 16/3
Vérifie ton énoncé

De cette équation on doit déduire y en fonction de x quand y > 4/3
On essaye d'exprimer y en fonction de x:
3/4(y - 4/3)² = 16/3 - x²
(y - 4/3)² = 64/9 - 4/3 x²
Comme on sait que y > 4/3
Cette condition peut s'exprimer :
y - 4/3 =
d'où :
y = 4/3 +
En fait si tu fait la représentation graphique, tu doit trouver que ca correspond à une demi ellipse.

Pour le 3° e) le principe est le même
La relation x² - 3(y+ 16/3)² = -64/3 se transforme en :
3(y+ 16/3)² = x² + 64/3
(y + 16/3)² = x²/3 + 64 /9
Comme y > -16/3
y + 16/3 =
d'ou finalement :
y =
Dans le cas présent tu dois vérifier qu'il s'agit d'une branche d'hyperbole

[jiji67]

merci beaucoup! et oui pour le problème d'énoncé il est juste mais il doit ètre faut, d'autre amis ont en aussi parlé qu'il trouve pas exactement la mème chose! donc merci beaucoup pour ton aide :we:
je te remercie!