Problème de série entière

[Brissou_44]

J' ai un petit soucis de série entière si quelqu'un pouvais m'aider en développant les calculs ce serai sympas. Merci.

1)En utilisant la formule de tan(2x), montrer que tan(4x) = 4tan(x) * (1-tan²(x))/(tan^4(x)-6*tan²(x)+1)
2)En déduire que tan(4 arctan(1/5))=2400/2380
3)Montrer que tan(4 arctan(1/5) – arctan(1/239)) =1
En déduire 4arctan(1/5) – arctan(1/239) = pi /4
4)Ecrire alors pi comme somme d’une série entière convergente
5)Calculer une valeur appochée de pi

[palmade]

Il suffit d'appliquer tan(4x)=2u/(1-u^2) avec u=tan(2x)=2t/(1-t^2) où t=tan(x); faire ensuite t=1/5
Ce qui aboutit à ce qui est connu sous le nom de formule de Machin:
pi/4= 4arctan(1/5) -arctan(1/239)
où l'on applique arctan(x)=x-x^3/3+x^5/5...
donc pi=4*((4/5-1/239)-(4/(3*5^3)-(1/(3*239^3)+...
qui converge beaucoup plus vite que pi=4arctan(1)=4*(1-1/3+1/5...

[Brissou_44]

Merci.
J'ai bien compris tous ce que tu dis mais j'ai encor un soucis pour montrer que tan [4 arctan(1/5) - arctan(1/239)] = 1.
Je suis arriver à 4 arctan (1/5)= arctan(1) +arctan (1/239) et j'arrive pas à le relier à 4 arctan (1/5)= arctan (2400/2380).
Est ce que tu pourrais me l'expliqué un peu plus?

[palmade]

tan(4arctan(1/5)-arctan(1/239)=
(tan(4arctan(1/5)-1/239)/(1+tan(4arctan1/5)/239)=
(2400/2380-1/239)/(1+2400/(2380*239))=
(2400*239-2380)/(2380*239+2400)=1
:D