Nombre complexe, terminale S

[nanou57]

Bonjour a tous, j'ai un exercice sur les nombres complexes et j'ai un peu de mal...j'espère que vous pourrais m'aider.
voila l'exercice:
le plan complexe P est rapportéau repère orthonormal direct (O, e1, e2)(vecteurs). Soit A le point daffixe 3i. On appellef l'application qui, à tout point m d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' définie par :
z'=(3i-7)/(z-3i).
1Recherche de point invariants par f :
a)développer (z-7i)(z+i)
b)montrer que f admet deux points invariants Bet C dont on précisera les affixes et qu'on placera sur un dessin.

j'ai deja répondu à la question a), puis pour la b) j'ai résout z'=z et j'obtiens z²-6iz+7. Après je ne sais pas comment continuer pour tr'ouver les affixes. Pouvez vous m'aider? merci d'avance.

[jeje56]

Bonjour a tous, j'ai un exercice sur les nombres complexes et j'ai un peu de mal...j'espère que vous pourrais m'aider.
voila l'exercice:
le plan complexe P est rapportéau repère orthonormal direct (O, e1, e2)(vecteurs). Soit A le point daffixe 3i. On appellef l'application qui, à tout point m d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' définie par :
z'=(3i-7)/(z-3i).
1Recherche de point invariants par f :
a)développer (z-7i)(z+i)
b)montrer que f admet deux points invariants Bet C dont on précisera les affixes et qu'on placera sur un dessin.

j'ai deja répondu à la question a), puis pour la b) j'ai résout z'=z et j'obtiens z²-6iz+7. Après je ne sais pas comment continuer pour tr'ouver les affixes. Pouvez vous m'aider? merci d'avance.

z²-6iz+7 est la solution de z'=z ou bien tu bombes sur l'équation z²-6iz+7=0 en simplifiant ?

[fonfon]

salut,

c'est bien z'=(3i-7)/(z-3i).?

[jeje56]

salut,

c'est bien z'=(3i-7)/(z-3i).?

Pr trouver les pts invariants, il te faut résoudre z'=z cad : (3i-7)/(z-3i) = z

[annick]

Bonsoir, j'ai l'impression que ton application de départ est définie par
z'=(3iz-7)/(z-3i).
Dans ce cas, effectivement z=z' donne z(z-3i)=3iz-7, soit z²-6iz+7=0
Si tu développes (z-7i)(z+i), tu retrouves z²-6iz+7, donc il devient facile de résoudre ton équation qui peut se mettre sous la forme d'un produit de facteurs

[nanou57]

non pardon, z'=(3iz-7)/(z-3i)...

[fonfon]

Re, en cherchant un peu vu les question qui suivent je pense que c'est:



si tu as bien developper tu as montrer que
(z-7i)(z+i)=z²-6iz+7

donc apres quand tu recherches les points invariants
tu as resolu z'=z (3iz-7)/(z-3i)=z z²-6iz+7=0

or tu sais que (z-7i)(z+i)=z²-6iz+7 donc z=z' eqivaut à z²-6iz+7=0 ....

[nanou57]

Mais je ne sais pas comment on trouve les affixes de B et C.

[nanou57]

Les affixes sont 7i et -i?

[fonfon]

Mais je ne sais pas comment on trouve les affixes de B et C.

en cherchant un peu

z'=z z²-6iz+7=0 (z-7i)(z+i)=0
z'=z equivaut à z-7i=0 ou z+i=0 z=7i ou z=-i

f a donc 2 points invariants :B d'affixe 7i et C d'affixe -i

[annick]

les affixes de B et C, se sont les z que tu as trouvé comme solutions à ton équation précédente.

[nanou57]

Merci beaucoup...
j'ai encore une petite question:
on appelle £ le cercle de diamètre [BC].Soit M un point quelconque de £ distinct de Bet C, soit M' son image par f.
Justifier que l'affixe de M vérifie z=3i+4e^ik où k est un réel.
Exprimer l'affixe z' de M' en fonction de k et en déduire que M' appartient a £.

POur la 1ere question il suffit que je remplace z par 3i+4e^ik dans (3iz-7)/(z-3i)?

[annick]

Non, il faut que tu justifies : soit k l'angle (Ae1,AM) (angle orienté), en construisant ton cercle, tu vois que A est le centre de ce cercle.
on a OM=OA+AM (toutes ces égalités sont en vecteurs) ce qui donne
z=zA+zAM=3i+4e^(ik) car zAM a pour module 4 qui est la valeur du rayon du cercle et pour argument k parce qu'on l'a défini comme ça.

[fonfon]

Merci beaucoup...
j'ai encore une petite question:
on appelle £ le cercle de diamètre [BC].Soit M un point quelconque de £ distinct de Bet C, soit M' son image par f.
Justifier que l'affixe de M vérifie z=3i+4e^ik où k est un réel.
Exprimer l'affixe z' de M' en fonction de k et en déduire que M' appartient a £.

POur la 1ere question il suffit que je remplace z par 3i+4e^ik dans (3iz-7)/(z-3i)?

c'est un peu plus compliqué que ça

le cercle a pour diametre [BC]
son centre est le milieu de [BC] d'affixe

le cercle a donc pour centre A .le rayon de ce cercle est AB.
la distance AB est le module de soit

le cercle a donc pour centre A et son rayon vaut 4

un point M du plan appartient à ssi AM=4 ce qui revient à ecrire

sion note p le module de (z-3i) et un argument de (z-3i) (non-nul)
dans R et

lorsque M appartient à , z#3i et p=4 donc:
soit

ccl: l'affixe z d'1 point M de verifie , avec ds R

a mediter

[nanou57]

Merci je vais essayer...