Echantillon Estimation

[tooni]

Pourriez-vous m'aider à démarrer sur ce petit problème :
On veut estimer le nombre N de poissons d'une espèce donnée dans 1 étang. On marque k=20 poissons et on les remet dans l'étang.

1 - On attrape ensuite au filet 30 poissons et on compte le nombre X de ceux qui sont bagués.On trouve X=4. En déduire l'estimation de N.

2- On pêche 1 poisson, puis 2, puis 3...et ainsi de suite ...jusqu'à ce que l'on pêche 1 poisson bagué. Y est le nombre de poissons qu'il a fallu pêché.
On recommence 5 fois.L'echantillon fortuit de la variable Y que l'on a obtenu est : 15,27,19,21,8.
Fournir une autre estimation de N

3-.....

Merci de votre aide
tooni

[BQss]

Pourriez-vous m'aider à démarrer sur ce petit problème :
On veut estimer le nombre N de poissons d'une espèce donnée dans 1 étang. On marque k=20 poissons et on les remet dans l'étang.

1 - On attrape ensuite au filet 30 poissons et on compte le nombre X de ceux qui sont bagués.On trouve X=4. En déduire l'estimation de N.

2- On pêche 1 poisson, puis 2, puis 3...et ainsi de suite ...jusqu'à ce que l'on pêche 1 poisson bagué. Y est le nombre de poissons qu'il a fallu pêché.
On recommence 5 fois.L'echantillon fortuit de la variable Y que l'on a obtenu est : 15,27,19,21,8.
Fournir une autre estimation de N

3-.....

Merci de votre aide
tooni

1)Je suppose que les trentes poissons attrapés sont de la meme espece, si non le test n'a aucun sens.
Une estimation simple consiste a faire une regle de trois 4-->20 donc 30-->N
N=30*20/4=150 poissons

2)on suppose qu'il y a N poisson au total parmis eux 20 sont marqués.
Soit N-20 poissons non marqués.
La probabilité d'attraper un poisson marqué au bout de k tentative est donc:
((N-20)/N)^(k-1)*(20/N).

On cherche a estimer N dans la loi geometrique ci dessus d'esperance(de moyenne) 1/(20/N)=N/20

On repete cette operation et on sait qu'un estimateur naturel de l'esperance de de la loi geometrique de parametre 1/(N-20) est la moyenne empirique de n variables independantes suivant cette loi:

on a donc N/20= (15 + 27 + 19 +21 +8) / 5 = 15

donc N=20*15 soit N=300 poissons

[BQss]

Je precise que pour le premier le test implicite s'effectue sur des variables de bernoulli.
On a 20/N poisson marqué dans la riviere, soit une probabilité de 20/N d'en attraper un.

On effectue 30 fois l'epreuve d'une variable de bernoulli de probabilité p=20/N d'attraper un poisson. Cette variable vallant 1 si on attrape un poisson a l'epreuve i et 0 si non. Ici les variables suivent une loi de bernoulli de parametre p=20/N qui est aussi l'esperance.
Un estimateur naturelle de l'esperance et la moyenne empirique des trentes variables independantes:
soit 4/30=20/N
donc N=150 et l'on retombe sur le resultat du post precedent.

[tooni]

Merci encore BQss
tooni