Proba...

[mimy0323]

Bonjour!!!
Voilà je viens de commencer les probabilités et j'ai déja quelques petits soucis...j'ai cet petit (mais compliqué selon moi) exercice à faire mais je ne sais pas du tout par où comencer... :briques:

Démontrer par le calcul l'égalité (n / p) = (n-2 / p) + 2(n-2 / p-1) + (n-2 / p-2)

où n et p désignent deux entiers positifs avec p< "ou égal" n-2

(Ce sont des coefficients binomiaux je sais qu'il n'y a pa de de barre de fraction mais je ne savais pas comment les écrire...dsl)

[fahr451]

bonjour
p parmi n c'est le nombre de façons de choisir p nombres parmi {1,...,n}

distingue les cas où tu choisis parmi les p nombres:
les deux nombres n et n-1

exactement un des deux nombres n ou n-1


aucun des deux nombres n et n-1

REM : aucun calcul ds cette preuve

si tu veux du calcul pars du membre de droite, écris donc les quotients de factoriels et simplifie.

[maturin]

alors il faut utiliser la formule


edit: la méthode de fahr sans calcul est bcp plus jolie

[mimy0323]

Donc si j'ai bien compris

Cas où on choisit les deux nombres n et n-1
on a une façon de choisir ces deux nombres donc p parmi n-2

Cas où on choisit exactement un de ces deux nombres
on 2 façons de choisir ces deux nombres soit n soit n-1
donc 2 * p-1 parmi n-2

Cas où on choisit aucun de ces deux nombres
on a une façon de choisir aucun des nombres
donc p-2 parmi n-2

...

[fahr451]

tu as mélangé les cas 1 et 3

cas 1 si on déjà pris n et n-1 il reste seulement p-2 nombres à choisir parmi n-2.

[mimy0323]

Ah oui exact ... Merci beaucoup pour cette aide...

[mimy0323]

j'ai compris le rasonnement sans le calcul mais avec le calcul je n'arrive pas à simplifier
Donc j'obtiens :

(n-2)! / p!(n-2-p) + (n-2)! / (p-1)!(n-p-1) + (n-2)! / (p-2)!(n-p)!
= (n-2)(n-1)n / p(n-p-2)(n-p-1)(n-p)n + (n-2)(n-1)n / (p-1)p(n-p-1)(n-p)n + (n-2)(n-1)n / (p-2)(p-1)p(n-p)n

ouh!! je doute que ce soit bon...

[fahr451]

j'ai du mal à lire mais il me semble que tu as déjà oublié le 2 dans le terme du milieu


le dénominateur commun est p!(n-p)! :multiplie donc chaque fraction" en haut et en bas" par les termes manquants .

[mimy0323]

donc ça donne

(n-2)!(n-p)+2(n-2)!p!(n-p)!+(n-2)!p / p!(n-p)!

:-S

[fahr451]

le numérateur se factorise par (n-2)! ça semble faux du reste que sont ces p! au numérateur?