Problème "maximum", exponentiel, logarithme neperien

[Murphy]

Bonsoir à tous! je suis nouveau et déja, je demande votre aide!
Je suis en terminal S et j'ai eu comme devoir maison pour vendredi prochain un sujet de bac de 2002.
Arrivé a la moitié, je bloque, sur une question qui me parait cependant hyper simple et pas difficile a résoudre.

Il s'agit de montrer que la fonction fk(x)>K/e

Je vais vous résumer vite fait les questions précedentes.

Tout d'abord, fk(x) = ln(e(x) + kx ) - x

A la question précendente, il fallait dresser le taleau de variation de la fonction fk(x). Après l'analyse de la fonction, on determine qu'elle croit de [0;1] et décroit de ]1; +infini[.
Ainsi, fk(x)< fk(1). fk(1) est donc un maximum de la fonction.

J'ai eu l'idée de montrer que si k/e est superieur ou égale a fk(1), alors fk(x) < k/e.
je me met donc à calculer fk(1) et je trouve que fk(1) = ln( 1+k/e) et si on continue dans le calcul, on trouve fk(1) = ln(e+k) - 1 (développement et utilisation des lois du logarithme néperien et de la fonction exponentiel)

Avec ces 2 expressions de fk(1), je n'arrive pas à montrer que k/e > fk(1), je réussi seulement a démontrer qu'elles sont strictement superieur à 0 se qui ne m'aide pas du tout à montrer que k/e > fk(1)

( k>0 => k+e > e => ln(k+e) >ln ( e) => ln(k+e) > 1 => ln(k+e) - 1 >0
ou
k>0 => k/e >0 => k/e + 1 > 1 => ln(k/e +1)> 0 )

Suis- je completement sur la mauvaise pente ou y a t-il quelque chose qui m'ait échappé?

Je remercie d'avance, les éventuelles futur réponse. Bonne soirée a vous tous

[anima]

Bonsoir à tous! je suis nouveau et déja, je demande votre aide!
Je suis en terminal S et j'ai eu comme devoir maison pour vendredi prochain un sujet de bac de 2002.
Arrivé a la moitié, je bloque, sur une question qui me parait cependant hyper simple et pas difficile a résoudre.

Il s'agit de montrer que la fonction fk(x)>K/e

Je vais vous résumer vite fait les questions précedentes.

Tout d'abord, fk(x) = ln(e(x) + kx ) - x

A la question précendente, il fallait dresser le taleau de variation de la fonction fk(x). Après l'analyse de la fonction, on determine qu'elle croit de [0;1] et décroit de ]1; +infini[.
Ainsi, fk(x) fk(1), je réussi seulement a démontrer qu'elles sont strictement superieur à 0 se qui ne m'aide pas du tout à montrer que k/e > fk(1)

( k>0 => k+e > e => ln(k+e) >ln ( e) => ln(k+e) > 1 => ln(k+e) - 1 >0
ou
k>0 => k/e >0 => k/e + 1 > 1 => ln(k/e +1)> 0 )

Suis- je completement sur la mauvaise pente ou y a t-il quelque chose qui m'ait échappé?

Je remercie d'avance, les éventuelles futur réponse. Bonne soirée a vous tous

Si tu n'arrives pas à le prouver, essaye de dériver les 2 expressions et de regarder les variations de pentes. Ca peut t'aider, mais ca peut aussi te poser problème... :hum:

[Murphy]

Mais en quoi comparer l'aspect des pentes des deux expressions pourrait- il m'aider à définir une inégalité entre fk(x) et k/e?

[anima]

Mais en quoi comparer l'aspect des pentes des deux expressions pourrait- il m'aider à définir une inégalité entre fk(x) et k/e?

Tu sais que tu as un maximum pour fk(x) en 1. T'étais bien parti, après tu compare les pentes et si fk(x) descend moins vite, ton égalité est vérifiée.

[rene38]

Bonsoir

Il s'agit de montrer que la fonction fk(x)>K/e
fk(x)<k/e je suppose
fk(x) = ln(e(x) + kx ) - x
fk croit de [0;1] et décroit de ]1; +infini[.
*fk(1) est donc un maximum de la fonction.
...............
**fk(1) = ln( 1+k/e)

*fk(1) est un maximum de f :

**fk(1) = ln( 1+k/e) :

donc pour tout k positif, pour tout x positif,

Et on sait (ou on redémontre facilement) que

donc pour tout k positif, pour tout x positif,