Espace de Banach, help!

[laurianne08]

Bonsoir à tous !

J'ai besoin d'aide pour montrer que l'espace des matrices carrée n*n à coefficients dans IK=IR ou C, muni de la norme matricielle de Schur (||A||=racine carrée de(somme pour i,j=1 à n de |aij|^2) ) est un espace de Banach.
J'ai réussi à montrer que l'espace est bien un normé mais je n'arrive pas à montrer la complétude.

Si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance.

Laurianne.

[Anonyme]

Salut,


Prends une suite U_n de ton espace avec U_n = (U_n(k))k
Montre que (U_n(k))n (attention aux indices ;)) est une suite de Cauchy de IR, complet donc convergente -> u(k). Reste à montrer que U_n -> u, que u est dans l². Suffit d'écrire ça proprement.

[laurianne08]

D'accord, merci.
Le problème c'est que je dois montrer que c'est Mn(IK) qui est complet
et pas IR.
Que prendre comme suite de Cauchy de Mn(IK) ? C'est là que je coince...

[thomasg]

si la suite de matrice est de cauchy , il me semble que la norme utilisée implique que chaque suite de nombre de la matrice est de cauchy aussi (tu peux facilement majorer ta norme par la suite qui converge le moins vite),
l'argument de la réponse précédente te permet alors de conclure

[laurianne08]

Merci pour vos réponses. J'ai compris..