Démonstration sur les racines d'un polynome utilisant le thm

[Azreth]

Tout d'abord bonjour, et désolé d'avoir massacré un mot dans le titre... Je manquais de place.

Je coince depuis deux jours sur cet oral des ENS :

1. Démontrer que pour tout polynome P de de degré les racines de P' sont dans l'enveloppe convexe des racines de P
2. Trouver le plus grand tel que les racines non nulles du polynome soient de module 1.

J'ai réussi sans trop de problèmes à démontrer le 1., mais le 2. pas moyen... Et j'aurais besoin de la démo ou d'une piste qui marche relativement vite...
A l'aide..

Azreth.

[imo]

soit n>2 ;P admet une racine double ssi 6/n-1;et cette racine double n'est autre que j ou j² ;comme p appartient à IR[X] alors 6/n-1 ssi (X²+X+1)² / P.
Supposons que n vérifie la proprieté requise; les racine de P' seront donc à l'interieur du disque unitaire(c'est l'enveloppe convexe des racines de P) ;on obtient ainsi que pour tout k de 1 à n-2 :(*) cos((2k/n-1)pi)P=X(X+1)(X²+X+1)² il vérifie ce qu'on veut : le maximum recherché est donc
7.