Matrice - calculer A^n

[ludwig]

Bonjour, je n'arrive pas à finir cet exo:
Soit la matrice A = 1 0 0 (1ère ligne), 0 1 a (2ème ligne), a 0 1 (3 ème ligne) où a est différent de 0.

1) trouver la matrice J telle que A = I + J où I est la matrice unité d'ordre 3

Donc je trouve J = 0 0 0 ; 0 0 a ; a 0 0 (1, 2 et 3 ème ligne)

2) calculer j² et j^3. En déduire J^k supérieur ou égale à 3 avec k appartenant à N

Donc j² = 000 ; a²00 ; 000 et j^3=0
J'en déduis que si k > 3 alors J^k = j^(k-3) * J^3 =0

3) En déduire le calcul de A^n = (I + J)^n pour n> ou égal à 2 pour n appartenant à N (indication appliquer la formule du binome de newton en vérifiant que la condition sous laquelle elle s'applique est bien satisfaite.

Donc la condition pour que le binome s'applique est que I et J commute (facile à montrer).
donc je peux applique A^n= (I+J)^n = somme de k=0 à n : Cn^k*I^k *J^(n-k)
Mais je ne sais pas comment poursuivre pour calculer A^n
Quelqu'un peut m'aider ?

[fahr451]

bonjour

écris plutôt la formule en permutant k et n-k

on a I^(n-k) = I et J^k = 0 si k>=3 donc dans la formule il n y a que 3 termes k = 0, 1 , 2 qu'on écrit . ( n >=3)

[ludwig]

oui d'accord, mais pk "qu'on écrit n>=3"

[fahr451]

non je voulais dire : on fait le calcul pour n>=3

et on écrit les 3 termes de la somme .

[ludwig]

Oui mais donc après il faut calculer pour chaque terme n-1, n-2 et n-3 ; ou n-1 suffit?

[fahr451]

je répète pour n>=3

(I+J)^n = sigma (k= 0,...,n) C(n,k) I^(n-k) J^k = sigma (k=0,...,2) C(n,k)J^k =

C(n,0) I +C(n,1)J + C(n,2)J^2.

[ludwig]

Donc finallement A^n = I + nJ + n(n-1)/2 *J²
?

[fahr451]

oui en effet

[ludwig]

merci pour ton aide !