J'ai un pti peu (..beaucoup !) de mal à résoudre un exercice.
Voici :
1-Soient a < b deux réels. Soit f définie sur [a,b] à valeurs dans R continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Soit n appartenant à N*.
Montrer que si f s'annule n fois sur [a,b] alors f' s'annule au moins n-1 fois sur ]a,b[.
J'ai fait cette question par récurrence, en travaillant sur deux intervalles.
2-Soient a < b deux réels. Soit n appartenant à N*. Soit g définie sur ]a,b[ à valeurs dans R, telle que g soit de classe Cn-1 sur [a,b] et g est n-fois dérivable sur ]a,b[.
Celle-ci je l'ai faite ausssi, c'esy après que ça se corse...
3-Soit n appartenant à N*, a1
Soit z appartenant à [a1,an] fixé.
On veut montrer qu'il existe c appartenant à ]a1,an[
On suppose z distinct de a1,a2,...an.
On pose g définie sur [a1,an] à valeurs dans R
qui à x associe f(x)-(x-a1)(x-a2)...(x-an)A où A est un réel tel que g(z)=0
i)Justifier l'existence de A en l'exprimant à l'aide de z.
Je suis en train de la faire et je pense que je peux y arriver.
ii)Montrer que g est de même régularité que f.
ii)Soit c appartenant à ]a1,an[. Montrer que c est comme voulu si et seulement la dérivée n-ième de g en c est égale à O.
iv)Justifier l'existence de c comme voulu
Pourriez-vous m'aider pour la question 3-ii) ?
Merci d'avance,
kkk