Matrice commutative

par **lachouettecheveche** » 20 Jan 2007, 09:50

Bonjour à tous !

J'ai un souci pour résoudre cet exercice sur les matrices:
Soient A et B deux matrices carrées de même ordre. On considère les matrices C = aA + bB et D = cA + dB où a,b,c,d sont des réels tels que ad - bc différent de 0. Montrer que C et D commutent si et seulemnt si A et B commutent.

J'aurai multiplié les matrices C et D, puis développé l'expression et utiliser le fait que A et B commutent pour retomber sur DC mais je n'arrive pas à revenir de l'expression développé à DC.
Qu'elqu'un a une idée ? merci !

par **yos** » 20 Jan 2007, 10:18

Exprime A et B en fonction de C et D.

par **lachouettecheveche** » 20 Jan 2007, 11:06

une foi fait ça j'y arrive pas:

C = aA + bB donc A=(C-bB)/a et B=(C-aA)/b

D=cA +dB donc A=(D-dB)/c et B = (D-cA)/d

Si j'remplace ça me donne des expressions foireuses

par **fahr451** » 20 Jan 2007, 11:11

ds le sens A,B commutent => c 'est clair

et dans l'autre sens fais comme yos t a dit

tu n'as pas encore écrit A et B en fonction de C et D

par **lachouettecheveche** » 20 Jan 2007, 11:42

J'suis désolé, j'arrive pas à exprimer ce que tu me dis: ça me donne une grosse équation; tu peux me l'écrire s'il te plait ?

par **fahr451** » 20 Jan 2007, 11:45

essaye de le faire seul

c 'est un système linéaire 2 , 2 d'inconnues A et B de second membre C et D

tu sais résoudre ceci depuis des lustres dans le cas d'inconnues réelles c 'est exactement la même façon ici ( en substituant, ou en combinant les lignes)

tu as écrit A en fonction de C et B remplace donc cette expression ds la deuxième relation et tu auras B en fonction de C et D

par **lachouettecheveche** » 20 Jan 2007, 11:50

C = aA + bB donc A=(C-bB)/a et B=(C-aA)/b

D=cA +dB donc A=(D-dB)/c et B = (D-cA)/d

Donc je résouds le système:

AB = (C-bB)/a * (D-cA)/d
AB = (D-dB)/c * (C-aA)/b

par **lachouettecheveche** » 20 Jan 2007, 11:53

ah attends, je crois voir

par **fahr451** » 20 Jan 2007, 11:57

mais non...
on en est juste à écrire A et B en fonction de C et D .

(1)C = aA +bB ,(2) D = cA +dB en faisant d(1)-b(2) membre à membre on obtient

dC -bD = (ad-bc) A donc A = [d/(ad-bc) ] C - [b/(ad-bc) ] D

donc A en fct de C et D

de même c(1) -a(2) donne B en fct de C et D et donc si C et D commutent A et B aussi.

par **lachouettecheveche** » 20 Jan 2007, 12:00

ok j'te remercie

Matrice commutative

matrice commutative

Qui est en ligne