Prouver que racine de 2 irrationnel

[alexdakos]

Salut a tous,

il faut que je prouve pour demain que V2 (racine de 2) est irrationnel (autant dire que c´est assez urgent ^^) :

Voila ou j´en suis :

"Raisonnement par l´absurde

V2 rationnel
V2 £ (est sur) Q
V2 = a / b avec a £ Z et b £ Z* et a/b irreductible

(V2)² = (a/b)²
2 = a/b x a/b
2b/a = a/b
a² = 2b²

Et je sais plus quoi faire ... Pourtant je sais que je suis sur la bonne piste

Merci d'avance pour vos réponses

[fahr451]

c est bien parti

a^2 est pair que dire de a ?

[alexdakos]

Lol justement c'est ça qui me bloque ... Je sais pas comment prouver que a² est pair

[fahr451]

y a que deux possibilités pour a

regarde donc a^2 quand a est impair

[alexdakos]

Ben 1er cas :

a est impair donc a² est impair car :

a = (2n + 1) avec n £ N
a² = 4n² + 4n + 1
a² = (pair) + (pair) + (impair)
a² impair

2ème cas :

a est pair, donc a² est pair car :

a = 2n avec n £ N
a² = 4n²
a² = (pair)
a² est pair

Je vois pas trop comment ca peut m'avancer ...

[fahr451]

bon alors tu as vu que si a est impair a^2 l'est aussi
donc ici forcément a est pair ( car a^2 l'est)

d'où a= 2a' a ' entier d 'où...

[cesar]

a^2 pair ==> a pair ==> a^2=2*2*a'^2 = 2 * b^2 ===> b^2 pair...etc... à force de décomposer en puissance de 2 eten simplifiant par 2*2 à chaque fois, on arrive à ....

[fahr451]

inutile ici puisqu 'on est parti de a/b irréductible