DM pour demain URGENT!!!!!!!(2nd)[tirangle semblable]

[rowmi1]

bonsoir à tous, j'ai un gros soucis avec ce problème ci dessous , merci d'avance!!


ABC est un triangle , M appartient à [AB], N à [AC]
prob: où placer M et et N pr que le triangle AMN et le quadrilatere MNCB ont la meme aire??


Pour cela on pose x=AM/AB et y= AN/AC (remarque que x et y sont donc inférieurs à 1)


1-Cas où (MN) // (BC)

a-Justifier que x=y(déja trouvé)
b-prouver que Aire(AMN)/Aire(ABC)=x²(????)
c-En déduire alors la valeur x, pour répondre au problème(???)

2-Cas général

a-Soit HetK les progetés orthogonaux de B et M sur (AC).Prouver que AMK et ABHsont semblables.
(déga fait)
b-En déduire que MK= x X BH puis que Aire (AMN)= xy X Aire(ABC)
c-Quelle condition doit-on imposer sur x et y pour répondre au problèmre? (???)
d- Justifier que cette condition n'est pas réalisable que si x>_1/2
>_ sa veut dire plus grand ou égale)
(??)

[fahr451]

un dm du jour pour le lendemain c 'est pas cool...

[armor92]

Bonjour rowmi1

1) b) Le triangle AMN est l'image du triangle ABC par une homotétie de rapport x(<1) et de centre A.
On en déduit Aire(AMN) = x² Aire(ABC)

1) c) Aire(MNCB) = Aire(ABC) - Aire(AMN) = Aire(ABC) * (1 - x²)

On cherche x tel que Aire(MNCB) = Aire(AMN), c'est à dire :
x² Aire(ABC) = Aire(ABC) * (1 - x²)

x² = 1 - x², donc x² = 1/2
D'ou x = 1/Racine(2)

[armor92]

2) b)
Par définition l'aire d'un triangle est égale à la base par la hauteur divisé par 2.
Donc Aire(ABC) = AC * BH / 2
et Aire(AMN) = AN * KM / 2

On a démontré KM = x * BH
Donc Aire(AMN) = AN * x * BH / 2

Par hypothèse on a AN = y * AC
D'ou Aire(AMN) = AC * y * x * BH / 2
Donc Aire(AMN) = x * y * Aire(ABC)

2) c) On doit avoir Aire(MNCB) = Aire(AMN)
Hors Aire(MNCB) = Aire (ABC) - Aire(AMN)
D'ou
x * y = 1 - x * y
C'est à dire x * y = 1/2

2) d) si x >= 1/2, on peut trouver y, car y =1/(2*x) <= 1
Si x < 1/2, alors y = 1/(2*x) > 1, ce qui n'est pas possible car on doit avoir y<=1 par hypothèse.

[BQss]

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:doh: ... :++: