DM sur les vecteurs

par **wayne** » 15 Jan 2007, 19:34

Bonjours, merci de prendre de prendre du temps déjà pour lire et pour m'aider car je ne comprend rien du tout a cette exercice :mur:

1er exercice

On considère un parallélogramme ABCD de centre O.
Soit I le milieu de [AB] et J le milieu de [AO].

Soit K le point vérifiant ( Vecteur DK ) = 1/4 (vecteur DC )

1. Exprimer le vecteur JK en fonction de vecteur AD

2. Exprimer vecteur IO en fonction de vecteur BC

3. Montrer que les droites (JK) et (IO) sont parallèles.

2eme Exercice

Soit ABC un triangle.
Soit I le milieu de [AC].

Soit J le point de (AB) tel que vecteur AJ=2/3 vecteur AB

Soit D le point d'intersection des droites (BC) et (IJ).

1.La parallèle à (JI) passant par B coupe (AC) en K.
a) Exprimer vecteur AI en fonction de vecteur AK
b) En déduire l'expression de vecteur IK en fonction de vecteur IC
c) En déduire que K est le milieu de [IC]

2. Montrer que B est le milieu de [DC]

Merci de m'aider, moi je continue a chercher la réponse mais c'est très compliquer

par **armor92** » 17 Jan 2007, 08:04

Bonjour wayne,

1er exercice

1. Exprimer Vecteur(JK) en fonction de Vecteur(AD)

On utilise la relation de schales et on écrit :
Vecteur(AD) = Vecteur(AJ) + Vecteur(JK) + Vecteur(KD) (1)

J milieu de AO, donc Vecteur(AJ) = Vecteur(AO) / 2
Hors Vecteur(AO) = Vecteur(AC) / 2

ABCD parallelogramme donc Vecteur(AC) = Vecteur(AB) + Vecteur(AD)

On a donc Vecteur(AJ) = ( Vecteur(AB) + Vecteur(AD) ) / 4

D'après les hypothèses de l'énoncé :
Vecteur(DK) = 1 / 4 Vecteur(DC)

Donc la relation (1) s'écrit :
Vecteur(AD) = Vecteur(AB) / 4 + Vecteur(AD) / 4 + Vecteur(JK) + Vecteur(DC) / 4

Vecteur(AB) = - Vecteur(DC)
D'ou :
Vecteur(AD) = Vecteur(AD) / 4 + Vecteur(JK)

Finalement :
Vecteur(JK) = 3/4 Vecteur(AD)

par **armor92** » 17 Jan 2007, 08:14

Exercice 1 2)

Toujours la relation de schales
Vecteur(BC) = Vecteur(BI) + Vecteur(IO) + Vecteur(OC) (2)

I milieu de A, B, donc : Vecteur(BI) = 1/2 Vecteur(BA)
O milieu de AC, donc Vecteur(OC) = 1/2 Vecteur(AC) = 1/2 Vecteur(AB) + 1/2 Vecteur(BC)

Donc (2) s'écrit :
Vecteur(BC) = 1/2 Vecteur(BA) + Vecteur(IO) + 1/2 Vecteur(AB) + 1/2 Vecteur(BC)

On simplifie et on a finalement :
Vecteur(IO) = 1/2 Vecteur(BC)

par **armor92** » 17 Jan 2007, 08:24

Exercice 1 3)

On a démontré :
Vecteur(JK) = 3/4 Vecteur(AD)
et
Vecteur(IO) = 1/2 Vecteur(BC)

Comme ABCD parallélogramme, on a Vecteur(AD) = Vecteur(BC)

D'ou Vecteur(JK) = 3/4 Vecteur(BC) = 3/2 Vecteur(IO)

Les vecteur JK et vecteur IO sont colinéaires donc les droites JK et IO sont parallèles

par **armor92** » 17 Jan 2007, 09:05

Exercice 2
1) a)

On utilise le théorème de Thalès dans le triangle ABK.
AJ = 2/3 AB
BK parallele à JI
donc AI = 2/3 AK

De cette égalité sur les distances, on déduit une égalité sur les vecteurs
Vecteur(AI) = 2/3 Vecteur(AK)

b)
Relation de schales : Vecteur(IK) = Vecteur(IA) + Vecteur(AK)
On a démontré dans le 1) a) que Vecteur(AK) = 3/2 Vecteur(AI)

Donc Vecteur(IK) = 1/2 Vecteur(AI)
Hors I milieu de AC se traduit par :
Vecteur(AI) = Vecteur(IC)

Donc Vecteur(IK) = 1/2 Vecteur(IC)

c) On en déduit K est milieu de IC

par **armor92** » 17 Jan 2007, 09:16

2eme exercice 2)
D'après les hypothèses, la droite ID (= droite IJ) est parallele à la droite BK.
K est milieu de CI

On utilise le théorème de thalès dans le triangle CID

Donc, B est milieu de CD

par **wayne** » 17 Jan 2007, 14:02

merci, j'ai trouver a peut près comme toi !!
DOnc je vais te faire confiance car moi les maths c'est moyen ^^

DM sur les vecteurs

DM sur les vecteurs

Qui est en ligne