Une Question Pour Les Vraie Matheux

par **danyahmed** » 26 Mai 2005, 13:55

salut,

notre professeur nous a demande de chercher un corps non-commutatif et different des quaternions!!!
est ce que quelqu'un peut m'aider :)

Merci d'avance!

par **danyahmed** » 26 Mai 2005, 13:57

svp c'est un peu urgent!! :)

par **danyahmed** » 26 Mai 2005, 15:49

Merci pour l'aide je vais voir!!

par **danyahmed** » 26 Mai 2005, 16:04

je crois qu'un corps est necessairement associatif Ian ,non!!!

par **Ian** » 27 Mai 2005, 12:50

Tout depend de ce qu'on entend par "corps". La plupart du temps, corps = anneau commutatif unitaire ou tous les elements non nuls sont inversibles bien que, dans la grande majorite des bouquins francais, la commutativite ne soit pas incluse dans la definition. Cependant, des que l'on a a faire a un corps non commutatif, on se sent oblige de le preciser, meme si cela n'est pas stictement necessaire vue la definition adoptee. Les anglophones par contre definissent un corps (field) comme etant necessairement commutatif et donnent aux corps non commutatifs un autre nom: skew field ou encore division ring. L'etape suivante dans cet elargissement de la notion de corps est la perte de l'associativite (et plus encore si on pousse le processus plus loin). A chacun de voir si cela compte encore comme un corps...
Ian.

par **danyahmed** » 27 Mai 2005, 12:55

je croit qu'il existe une propriete qui disent que tous les anneaux sont commutatif!!! en fait c'est ce qu'on a fait en classe!!!
merci en tout cas et dis moi tu est etudiant ou prof t'as un large connaissance plus que mon prof je crois!!! :D

par **tristan** » 27 Mai 2005, 13:15

Les maths ne sont pas une science justement, ce qui ne change rien à leur déraisonnable efficacité.

par **danyahmed** » 27 Mai 2005, 13:26

c'est pas moi qui a dis ca c'est LEIBNIZ ;) monsieur tristan :)

par **quentin** » 29 Mai 2005, 01:09

les anneaux ne sont pas tous commutatifs, cf les matrices

par **Anonyme** » 30 Mai 2005, 21:12

je veux dire associatif excuse moi

par **Anonyme** » 31 Mai 2005, 07:48

Salut,

C'est pas associatif la multiplication de matrices ? Ah ?

Sinon construire des corps non commutatifs c'est pas trivial. L'astuce c'est souvent de construire le "corps des fractions" (mais qui n'existe pas toujours, bien sûr, dans le cas non commutatif) sur un anneau non commutatif bien choisi.

Cf le bouquin de Cohn "Skew Fields".

par **quinto** » 31 Mai 2005, 16:59

Si tu veux un corps non commutatif différent des quaternions, tu peux trouver une petite entourloupe:
Tu prends les quaternions dont les composantes sont rationnelles.(en plus il est dénombrable, c'était une question d'un ancien sujet de l'agreg)
Sinon comme il est dit, il n'y a que 3 surcorps de R de dimension finie.
Si ma réponse ne te plait pas, il ne faut pas aller dans les surcorps de R dimension finie:
Soit on prend un autre corps, soit on ne prend pas la dimension finie.

Tu peux prendre H(X) par exemple, le corps des fractions rationnelles à valeur dans les quaternions.
etc.

A+

par **Anonyme** » 31 Mai 2005, 22:04

Salut Quinto,

Une question de curiosité : comment on construit H(X) ? tu as une référence ?
parceque construire le corps des fractions d'un anneau non commutatif c'est pas immédiat.

par **quinto** » 01 Juin 2005, 12:17

Héhé pas bete, j'ai pas réfléchis avant de parler :p
Cependant si on arrive à construire un polynôme sur H, on arrive à construire une fraction je pense.
Arrive t'on à construire un polynôme sur H?

par **quinto** » 01 Juin 2005, 16:32

Re:
Je pense à une construction telle que celle ci:

On pose
P(X)=somme des ai*xi=(a0,a1,a2,....,an,0,0,0,0....)
et on utilise la multiplication classique (produit de Cauchy) en faisant bien attention à l'ordre des produits.

Ainsi on a bien construit un polynôme à coefficient dans H, avec aX=Xa mais abX différent de baX.

On construit ensuite H(X) comme étant une suite d'éléments de H, munie de la somme usuelle et du produit de Cauchy défini plus haut.
Je pense que ca tient bien la route et que l'on a plus de problème désormais pour avoir un corps des fractions rationnelles sur H.
Amicalement;
Quinto

par **Anonyme** » 01 Juin 2005, 21:29

Non inscrit a écrit:je veux dire associatif excuse moi

Dire qu un anneau est commutatif veut dire que sa deuxieme lci l'est. Toi quant tu dis que "tous les anneaux sont commutatifs" tu as en tete qu un anneau est pour sa premiere lci un groupe abélien donc commutatif par rapport à la première loi--> Ca oui c est toujours vrai.Sinon l'associativité est quasiment toujours vrai , du moins au programme de MP* ..

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Corps non-commutatif

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a ian!!!

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