Champs de gradient, intégrales curvilignes

[benj3850]

Bonjour à tous,

voilà je suis tombé sur un exercice où il faut montrer qu'une fonction f est un champs de gradient sur un intervalle, puis déterminer une primitive.Le problème c'est que je n'ais pas de cours sur le sujet donc je voulais savoir si l'un de vous savais comment de manière générale montrer qu'une fonction est champs de gradient, et aussi si vous avez des liens sur le sujet n'hésitez pas !
Je vous met l'exercice ci dessous si jamais ca vous parle mieux... :

U={R²-{0,0}}
f(x,y) = ( -y/(x²+y²) , x/(x²+y²) )
f : U->R²

1) Montrer que f est un champs de gradient sur U et déterminer en une primitive.
2) Soit Ya une chemin le long de l'ellipse Ca = {(x,y) appartenant à R² tel que : x²/a² + a²y² = 1 }, a!=0 au sens direct.
3) Vérifier par le calcul pour un a bien choisi que l'intégrale sur le chemin Ya de f.dx = 2Pi
4) Pourquoi n'existe t il pas de prolongement de f en une fonction C1 sur R² ?

Voila ! :)
Merci d'avance pour vos réponses.