Exercice sur les suites

[Pekwylechti]

Bonjour, je ne parviens pas à résoudre l'exercice suivant :




a) Pour déterminer le sens de variation, il faut faire le signe de la différence de Un+1 - Un, donc je cherche d'abord Un+1 = 1/(n+1)((n+1)+1)
Mais ensuite je n'arrive pas à faire le signe de la différence, je réduis au même dénominateur mais après je suis bloqué..

Quelqu'un pourrait me secourir ?

Merci...

[Purrace]

Pour la 1 tu as Un+1-Un=1/(n+1)(n+2)-1/n(n+1).
n(n+1)<(n+2)(n+1) pour n appartenant a N.Donc tu en deduis que 1/(n+1)(n+2)<1/n(n+1) et donc ta suite est strictement decroissante dans N.
Ben voila tu peus continué.

[Pekwylechti]

D'accord, merci...

Donc pour la question b) :

Un = a/n + b/(n+1) = ((a)(n+1)+b(n)) / n(n+1) = 1 / n(n+1)

donc il faut que a(n+1)+b(n) = 1 si je comprends bien mais comment trouver a et b ?

Si vous pouviez m'éclairer ?

Merci, Cordialement...

[Purrace]

Il faut que tu effectue une identification , tu en deduis que an+a+bn=1
(a+b)n+a=1
D'ou a=1 et a+b=0 equivaut à b=-1.

[Pekwylechti]

D'accord, merci.

Pouvez-vous vérifier mes affirmations s'il vous plait ?

pour la question c)

Sn = (n (u1+un)) / 2 c'est bien cela ?

Par contre pour le sens de variation je bloque à nouveau, je ne sais pas comment m'y prendre :triste:

[Purrace]

c) Utilise la question precedente tu as demontré que 1/n(n+1)=1/n-1/(n+1).
Donc en utlisant cela , tu devrait trouver que Sn=1-1/n+1.

[Pekwylechti]

c) Utilise la question precedente tu as demontré que 1/n(n+1)=1/n-1/(n+1).
Donc en utlisant cela , tu devrait trouver que Sn=1-1/n+1.

Oups j'ai pas trop compris là ?

[Purrace]

Regarde u1=1-1/2
u2=1/2-1/3
...........
un-1=1/(n-1)-1/n
un=1/n-1/(n+1)
En additionant , tout s'annule , il ne reste plus que 1 et -1/(n+1)
Donc Sn=1-1(n+1).

[Pekwylechti]

Ah d'accord mais je ne vois pas comment le démontrer ?

[Purrace]

En admettant ce que je t'ai dit , tu pourrais faire une demonstration par recurrence, pour justifier Sn trouvé.Ou bien, tu marque exactement ce que je t'ai dit si vous n'avez pas encore vu ce qu'est la demonstration par recurrence.

[Pekwylechti]

Bonsoir, A vrai dire nous avons vu la démonstration de récurrence mais j'ai pas trop trop compris. :hein: Je ne parviens pas à l'appliquer à mon exercice... :hein: