Concours ens 2005 MP

[arthur]

quelqu'un a t il fait la question suivante a l'epreuve de maths de 6h des ens?
P(X,Y) est 1 polynome homogene de 2 variables de degré d
soit la fonction f :
pour t dans [-pi ; pi[, f(t)=P(cos(t) ; sin(t))
il faut montrer que cette fonction admet au plus 2d zéros.
j'y suis resté assez longtemps dessus sans rien trouver!
merci
arthur

[Anonyme]

salut
tu peut ecrire le polynome p et puis séparé de part et d'autre les (sin(teta))^pair et les (sin(teta))^impair par apport au =,enlever les deux cotés au carré, vous verez ainsi un polynome en cos(teta) et e degré inferieur ou egale a 2d,cela vient du fait que sin^2=1-cos^2...,attention !!il faut maintenant s'assurer que ce nouveau polynome(qui est bien sur dévisible par p) n'est pas nul, pour cela, ce polynome est de la forme : A^2 - B^2*(X^2-1) avec A et B des polynomes ,donc ne peut etre nul vu ke le premier A^2 garde un signe constant (positif) alors ke l'autre B^2*(X^2-1) change de signe et bien sur A et B son non nuls vu ke p ne l'est pas.
désolé , je ne maitrise pas l'ecriture mathématique sur le clavier,jéspère ke tu comprendera ma preuve.

[danyahmed]

tu es d'ou y :D assine ?

[IBM Research [Bot]]

je note z = cos t + i sin t et Q(z) = P(cos t , sint)

cos (t) = 1/2 (z + conj(z)) = (1+z^2)/ (2z) ,car conj(z) = 1/z

donc cos(t) est une fraction rationnelle en z, de degré 2 au numérateur

de même pour sin(t)

P est de degré n, donc Q une fraction rationnelle de degré du numérateur au plus 2n (en z)

Q n'est pas nulle (sinon P s'annulerait sur tout le cercle trigo et serait donc nul). Donc Q admet au plus 2n racines. D'où le résultat.

[Anonyme]

je suis du maroc ,mais est ce ke t'as compris mon raisonement ?