Convergence simple

[bourbaki]

bonsoir
j'ai du mal avec cet exo
Etudier la convergence simple ou unifomre de la suite Gn sur [0,1] definie par

pour tout t de [01] G0(t) =1 et pour touit n de N G(n+1)(t)= integrale(0..t) de 2*rc(Gn(u))du.
d'abord c'est quoi la fomre de Gn ?
j'ai essyé et j'ai poseé Gn= Bn*t^(an) bn et an sont deux suite j'ai trouvé une relation de récurence verifié par ces deux suites!
je trouve que an=2-(1/2)^n mai par contre je ne sais pa comment calculer Bn ?

pouvez vous m'aider ?
merci :cry:

[yos]

ça peut suffire ?

[fahr451]

b(n+1) = 4 rac(b(n)/(2+a(n))

a(n) =-1/2 +(1/2)^(n+1) sauf erreur.

[yos]

Il me manquait une racine sur B_n. J'ai fait la modif. Merci Fahr 451.
Par contre était bon il me semble (chez Bourbaki).

[fahr451]

G0(t) = 1 donc a0 =0 sa formule donne a0 = 1

[bourbaki]

merci les amis
soit, on trouve B(n+1)=4*rc(Bn)/(2+An). j'ai trouvé que An tend vers 2 .
comment calculer la limte de Bn pour trouvé la limite simple de la suite de fonction Gn(t) ?
en fait je pense que la limite simple sera t->t² !

pouvez vous m'aider ? :++:
merci

[yos]

G0(t) = 1 donc a0 =0 sa formule donne a0 = 1

, donc et ta formule donne .
La bonne formule est .

[fahr451]

ah mince

on intègre bien

2 racine ( Gn(u) entre 0 et t ?

[fahr451]

a(n) = 2 - (1/2)^(n-1)
les calculs tardifs (1H03)sont souvent fantaisistes chez moi.

[bourbaki]

merci
mais oui, c'est pa la peine de débattre sur la forme de An !! c'est tres simple?
je vous inviste plutot de m'aider à trouver la forme des Bn !! :cry:

merci encore :++:

[fahr451]

ah mais non an est important pour l 'étude de bn

[yos]

, donc par récurrence , et en faisant tendre n vers l'infini dans la relation de récurrence des , on voit que si converge c'est vers 0 ou 1; 0 est exclu, donc la seule limite admissible est 1. Il faudrait creuser un peu pour voir que la convergence a lieu effectivement (par exemple en montrant la décroissance à partir d'un certain rang).

[fahr451]

a(n)<2 donne B(n+1) > rac (B(n) >=1

[bourbaki]

merci à vous
donc vous dites que Bn est comprise entre 1 et 4, donc elle est bornée donc on peut en extraire une suite convrgente , donc B(e(n)) converge vers un certain l ( e(n) est strictement croissante de N dans N ) .
en fait , je veux montere que Bn admet une unqiue valeur d'adhérence pour conclure qu'elle converge vers cette valeur d'adhérence.
j'ai remplacé n par (en) dans l'expression de récurrence de Bn , je voulais faire tendre n vers l'infine ( sachant que A(e(n)) tend vers 2 ) mais j'hésite!
est ce que B((e(n))+1) tend vers la meme limite que B(e(n)) ??

merci

[bourbaki]

en d'autre termes, est ce que B((e(n)+1)) est une suite extraite de B(e(n)) ?
merci

[fahr451]

la réponse est non

les suites extraites de B(e(n)) sont les B(e°e'(n)) où e' est strictement croissante.

[bourbaki]

!!! c'est vrai! :doh:
c'est pa plutot B(e'°e(n)) ? car j'ai du aml avec ces suites extraite?

en tout cas , est ce que les suites extraites m'aideraont à résoudre cet exo ?
merci :marteau:

[fahr451]

les triples ! n 'y feront rien c'est vrai...

on pose v(n) = B(e(n) ) une suite extraite de v est w(n) = v(e'(n))
on pose N = e'(n) alors w(n) = v(N) = B(e(N))= b(e°e'(n))

[yos]

Laisse tomber les sous-suites. C'est ta suite qui doit converger. J'ai regardé avec Excell, elle converge vers 1 très rapidement comme on pouvait s'y attendre en remplaçant moralement par 2 dans la formule de récurrence de . Cherche une majoration de ou cherche à prouver qu'elle décroit dés que n>2.

[yos]

.
La première inégalité est .
La dernière inégalité par récurrence.