Inégalité

[sandrine_guillerme]

:king2:

Si a et c sont de signe contraire (par exemple a > 0 et c < 0), b² - 4ac >= 0 est toujours satisfait.

Si b > a, b est forcément > 0 alors :

max(a,b,c) = b

Comme a et c sont de signe contraire (avec a > 0) , a + c < a

Avec b > a , on a alors : a + c < b

et a fortiori a + c < (5/4).b

Or pour avoir : a + b + c > (9/4).b , il faudrait :

a + c > (5/4).b , c'est donc impossible.

Conclusion:

Si a et c sont de signe contraire et b plus grand que a et b, on a a + b + c <= (9/4).max(a,b,c)
---
Si a et c sont de signe contraire (par exemple a > 0 et c < 0), b² - 4ac >= 0 est toujours satisfait.

Si a > b, alors max(a,b,c) = a

Pour avoir a + b + c > (9/4)max(a,b,c), il faudrait que: a + b + c > (9/4).a

soit b + c > (5/4).a

Comme c est négatif, on a: b + c < b

--> Il faudrait b > (5/4).a, soit b > a , ce qui est contraire à l'hypothèse.

Conclusion :

Si a et c sont de signe contraire et a plus grand que b et c, on a a + b + c <= (9/4).max(a,b,c)
---
En regroupant les résultats, on trouve:

Si a et c sont de signe contraire, on a a + b + c <= (9/4).max(a,b,c)
-----
Il reste à envisager le cas avec a et c de même signe.


:king:

[sandrine_guillerme]

Bonjour,

J'ai réelement adoré cet exercice,
voici une autre méthode .

Je raisonne par contraposée en montrant que pour tous rééls a,b,c a+b+c>9/4max(a,b,c) implique b^2<4ac
Allons y :

donns nous alors trois réels a,b,c tq a+b+c>9/4max(a,b,c) ce qui veut dire simplement qu'on a
a+b+c>9/4a
a+b+c>9/4b
a+b+c>9/4c
ce qui s'écrit aussi
max(5/4a-c,5/4c-a)

et comme max(x,y)= (x+y+|x-y|)/2 on a (a+c)/8+9/8|a-c|0 et par suite b>0 .

en élevant au carré cette dernière inégalité on a (a+c )^2-4ac<9/25(a+c)^2
c'est à dire 16/25(a+c)^2<4ac
CQFD

yos, et imod .. ne vous foutez pas de moi si j'ai commis une bétise, je suis encore au début du parcours mais vous pourriez me corriger svp ?????


Merci d'avance .

[yos]

C'est bien. Ca ressemble à ce que j'ai fait (message 5), et c'est peut-être plus court. Bravo.
J'espèrais une preuve très courte utilisant ax²+bx+c et son discriminant mais c'est pas sûr que ça existe.

[sandrine_guillerme]

Oui c'est vrai je ne pense pas .. mais bon après tout j'ai des idées très limités ..

[leibniz]

Voici une généralisation de ce résultat:

Pour tout polynôme réel de degré n, admettant que de racines réels, On a:
Avec : et et et sont optimales.

[yos]

Merci Leibniz. Tu as une référence pour ces inégalités?

[leibniz]

Merci Leibniz. Tu as une référence pour ces inégalités?

Désolé pour le retard!
En fait, J'ai trouvé (sur un site) que la question était publiée à:
Moser L. and J.R.Pounder , Problem 53 , Canad.Math.Bull., 5,70(1962).
Et la généralisation était prouvée ici:
Dixon J.D. , Polynomials with real roots , Canad.Math.Bull., 5, (1962) 259-263.

Mais je n'ai pas trouvé de démos sur le site.

EDIT: Essaie avec le service books de google ça doit donner quelque chose.