Polynômes

[mejdane]

Salut à tous !
Voici un petit exercice sur lequel je bloque:
Soit A appartenant à R[X] tel que A(X+1)=A(X)
Mq si A(v)=0 où v appartiend à C alors A(v+n)=0 pour tt n appartenant à N.
En déduire que A est constant(la se pose le problème)
Merci.

[jose_latino]

Si c'est juste la conclusion, tous les polynômes non nuls ont une quantité finie de racines.

[mejdane]

je ne vois pas la relation entre ta conclusion et les données.

[maturin]

ben A(x) est un polynome à une infinité de racine donc c'est un polynome nul.

[mejdane]

j'ai une autre petite question même si je vois que c'est un peu bête :quelle est la relation entre ce A de R[x] et cette solution v de C ,d'une autre manière est ce qu'il ne faut pas chercher les racines sur R non pas sur C?

[maturin]

en fait tu as R[X] inclus dans C[X]
donc tu peux travailler dans C[X] et si tu trouve A=0 dans C alors A=0 dans R.

La seule chose que tu as de plus c'est que si v racine de A alors le conjugué de v sera aussi racine de A.

l'avantage de travailler dans C[X] c'est que tu peux toujours mettre A(X) sous la forme a(X-X1)(X-X2)...(X-Xn) où n est le degré de A.

Dans R[X] tu auras des termes en (X²+bX+c) non factorisables

[mejdane]

Merci bien c'est bien clair!

[fahr451]

pour le 1 si A a une racine complexe A est nul
si A n'a pas de racine ds C A est constant
donc A cst ds tous les cas

REM il est inutile de passer par les racines complexes
en considérant le polynôme P(x) = A(x) -A(1) qui a une infinité de racines (tous les n) donc qui est nul et A cst.