Fonction reglée sur R

[Walsh]

Bonjour,
Pourriez-vous m'indiquer la démarche à suivre pour résoudre cette exercice je ne vois pas très bien le lien entre continuité (cf (a)) et la notion de fonction reglée.
Merci d'avance.

Le problème est indiqué ci-dessous :

Soit I = [a, b] un intervalle compact. On dit que f : [a, b] ;);) R est réglée si elle est limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier.
(a) Montrer que f est réglée si, et seulement si, pour tout k > 0 il existe une fonction en escalier We telle que
|f(x) ;) We(x)| ;) k, ;)x ;) [a, b].
(b) Montrer qu’une fonction continue est réglée.
(c) Soit f : [0, 1] ;);) R la fonction définie par
f(0) = 0, f(x) = 1/;)x si x non nulle.
Montrer que f n’est pas réglée.
(d) Montrer que f est réglée si, et seulement si, elle admet en tout point de [a, b] des limites à droite et à gauche.
(e) Montrer qu’une fonction monotone est réglée.
(f) Montrer qu’une fonction réglée est bornée.
(g) Montrer que l’ensemble des points de discontinuité d’une fonction réglée est dénombrable.

[fahr451]

qu 'as tu réussi à faire ?

[mathelot]

bonsoir,
quelques idées:
pour (a), tu peux tester avec
la relation équivaut à
(b) utiliser qu'une fonction continue est minorée et majorée sur
tout intervalle compact
(c) f ne vérifie pas (d)
(d) doit se ramener à une interversion de limites gâce à la convergence uniforme
(e) si f est croissante, limite à droite de f = inf (f)
(f) une fonction en escalier est bornée et la convergence est uniforme.

[Walsh]

Merci de votre réponse

[mathelot]

L'idéal, c'est que vous posiez des questions sur ce que vous n'avez pas compris.
Il y aura tjrs des gens pour vous répondre.