Exponentielle tle es

[anaid]

J'ai la fonction suivante:
G (x) = xe^x - 1
Dans la consigne, on admet que l'équation
G( x)= 0 admet une unique solution alpha.Il faut que j'en déduise le signe de G (x) suivant les valeurs de x.
Comment dois-je faire?
Faut-il poser l'opération xe^x - 1 = 0?

[rene38]

Bonjour

Calcule G'(x), fais un tableau avec pour valeurs de x :

[anaid]

J'ai calculé la dérivée de G' (x) et je trouve:
(1+x) e^x
Mais je ne comprends toujours pas ce que je dois faire?

[rene38]

D'accord,

La fonction est définie et continue sur

On sait que quel que soit le réel donc la dérivée a le signe de :

négative sur et positive sur

* La fonction est donc strictement croissante sur

Or < 0 et donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires,

il existe un réel unique tel que

D'après l'énoncé, existe un réel unique tel que

donc quel que soit

étant strictement décroissante sur et

on a donc

Reste à dessiner et compléter le tableau

[Largonaute]

Salut,

Je ne suis pas d'accord sur ta limite en - l'infini, en effet lorsque l'on fait tendre x vers - l'infini dans l'expression de G(x) on trouve -1 et non 0, sachant que l'exponentielle "l'emporte" sur les fonctions puissance.
En effet, strictement décroissant et négatif n'implique pas que la limite soit 0 en moins l'infini, mais plutôt une sorte de réciproque, limite nulle en moins l'infini et strictement décroissante implique que x prend des valeurs négatives sur l'intervalle où la fonction est décroissante.

[rene38]

Bonjour Largonaute
Parfaitement exact : faute de frappe qui ne change rien à la réponse à la question posée "en déduire le signe de G (x) suivant les valeurs de x"
Correction :