Petite limite de suite..

[Cricriiii]

Bonjour!

Soit Un(x) = x - x^3/3 +x^5/5 -... + (-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)

Montrer qu'elle est convergente pour |x| =< 1.

J'ai fais Un+1(x) - Un(x) et je me retrouve avec deux suites extraites, donc j'en déduis qu'elle est convergente.

Mais, comment calculer sa limite? Je n'ai aucune idée :(

Merci!

[Joker62]

Dérive Un(x) tu retrouveras 1 - x² + x^4 + ... + (-1)^n * x^2n
Et ça tu sais que c'est la somme de 1 / (1+x²) = 1 / (1 - (-x²)) définie pour |x| < 1

La série entière initiale ayant le même rayon de convergence que sa dérivée tu en déduit le rayon de convergence pour la série initiale
et sa limite tu peux en déduire que c'est la limite de Arctan(x) donc pi/2
enfin sauf erreur

[Cricriiii]

Je ne comprends pas bien ces rayons de convergences, je n'ai jamais touché à ça encore !
Je ne pourrais même pas balancer ça sur la feuille ça sortirait du néant!

De plus au cours de mon exercice, j'ai eu à primitiver pour arriver à ça, est-ce logique qu'à la question suivante je doive encore dériver?

(En fait l'exercice sert à approximer pi avec la méthode des arctangentes!)

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Mais par contre je viens de trouver un truc..

A la question précédente j'avais,

|Arctan(x) - Un(x)| =< x^(2n+3)/(2n+3) ;

maintenant, pour |x|=< 0 fixé

Est-ce que cette demonstration ets correcte?

pour 0=< x =< 1, |Arctan(x) - Un(x)| est croissante (car valeur absolue pour x positif est croissante)

et lim x^(2n+3)/(2n+3) = 0 quand n-> inf

donc d'apres le th de comparaison, |Arctan(x) - Un(x)| est majorée par 0

appelons l = lim Un(x), l'= lim arctan(x)

alors en passant a la limite:
|l' - l| =< 0 pour n->inf
donc l' = l

et l' = pi/4 car arctan(x) sur [0;1], donc l = lim Un(x) = pi/4

Est-ce correct? Merci d'avance :)

[Cricriiii]

En fait je ne comprends pas, la réponse n'est pas pi/4 mais pi/2, et pourtant je ne vois pas où est l'erreur?

[Joker62]

Ah ok, donc tu n'as pas encore vu les séries entières.

Et pour info, arctan tend vers pi/2 pas vers pi/4

[Cricriiii]

Mais en x->1, Arctan tend vers pi/4?!

Ma calculette insiste..!

Et est-ce que ma démonstration tient la route ? Ou alors pourquoi je ne trouve pas pi/2 mais pi/4 si la bonne réponse est pi/2? Quel calcul je fais faux..? :mur:

Edit: j'avais ecris 1/2 et 1/4 au lieu de pi/2 et pi/4.. pardon !

[fahr451]

je n'ai pas tout lu

mais en effet

les sous suites U2n et U2n+1 sont adjacentes donc cv vers la même limite

donc U aussi cv

si tu as l'inégalité

En (x)= l Un(x) -arctanxl =< x^(2n+3)/(2n+3)
a fortiori pour x ds [0,1]
En(x) =<1/(2n+3) et par comparaison (gendarmes) En tend vers 0 donc Un(x) vers arctanx et pour x = 1 , lim Un(1) = arctan1 = pi/4
(la calculette est forte)