Image d'un ensemble

[chombier]

Bonjour,

J'ai une question existentielle très grave.

Si est une application et si , on définit généralement


Que se passe-t-il quand ?
Quel sens donner à ?

Imaginons que , et

donc
donc

On est d'accord que dans ce cas, identifier et ne fonctionne pas ?

Comment remédier à ce problème ?

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Comme ton exemple le montre, employer la même notation pour l'application et pour l'application image directe induite pose problème quand l'ensemble de départ et son ensemble de parties ont une intersection non vide.
Une façon de remédier à ce problème est d'avoir une notation spécifique pour l'application image directe asociée à : par exemple . Il convient alors aussi de noter l'application image réciproque, cela évite la confusion avec lorsque est bijective.

[chombier]

Ca ne m'arrange pas mais j'avais la bonne intuition. Cela m'amène à une autre question.

Est-il possible de prouver les assertions suivantes ?



Si ce n'est pas possible, je ne vois pas comment identifier f(x) et f(A) quand l'ensemble de départ de f est ou

Cela dépends de la construction de , mais si on prends la construction de la théorie des ensembles, on a


et donc

[Ben314]

Salut,
Tout dépend de la façon dont tu as défini ou construit (et ), mais une des construction usuelle quand on part d'une théorie des ensemble donne et dans ce cas, tu as évidement (en fait, la relation sur ce , c'est la relation alors que la relation c'est ).

P.S. : Pas vu la fin de ton message pendant que j'écriais.

P.S.2 : En quoi ça te gène d'utiliser des notations non ambiguës comme celles préconisées par GBZM ?
J'ai eu un prof. grand fan de tout ce qui est preuve via des diagrammes commutatif qui utilisait ces symboles et ça m'est aussi arrivé de les utiliser en cours, en particulier pour faire chercher aux étudiants quelles liens il y a entre l'injectivité/surjectivité/bijectivité de et celle de et .

[chombier]

Ca me dérange aussi car dans "la vraie vie", ce n'est jamais un problème. C'est un problème théorique, pas un problème pratique. Mais c'est dommage que la théorie ne soit d'aucune aide.

Au final je doute très fortement de la notation f(A)...

Ca me dérange car j'avais envie de généraliser et au final d'identifier f, f*, f**, f***...

Ça me dérange aussi car le même problème se pose avec un magma (X, *).
La définition est ambigue si et

Là aussi je voulais généraliser en posant


Et même



Ca faisait une belle théorie (le mot est bien trop fort mais je n'ai pas mieux) qui tombe à l'eau...

[chombier]

Je crois que j'ai trouvé la solution, elle serait dans ZFU où U est pour "urelement".

Ca ajoute à ZF de nouveaux objets (des urelement) qui ne sont pas des ensembles mais peuvent appartenir à un ensemble (des sortes d'atomes). Dans cette construction, 0, 1 et 2 sont des urelement, ce ne sont pas des ensembles (il faut donc une quantité dénombrable de urlements pour construire N)

Et ça assure que N, P(N), P(P(N))... sont deux à deux disjoints.

Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ur-element