Polynômes à plusieurs variables: familles libres?

[acteon2]

Bonjour,
Je m'intéresse aux polynômes à plusieurs variables et je pars de rien.
J'imagine qu'une famille de polynômes à n variables de degré distincts est libre (par degré j'entends le n-uplet des puissances associées respectivement à X_1 ,...X_n) mais je ne trouve pas ça évident! récurrence, dérivation partielle, substitution...pas si simple, et d'ailleurs certains exercices que je trouve ça et là me font même douter que ce soit vrai.
Sinon, plus simple, montrer qu'une famille de polynômes à n variables de degré distincts et tous homogènes de degré d est libre, mais idem pas si simple.
A noter que le cas deux voire variables est trop simple: si deux variables, facile de se ramener à une, car à une puissance de y fixé, il ne peut y avoir qu'une puissance de x. c'est faux quand on a plus de variables, par exemple on peut avoir, même pour les homogènes, X^2 Y Z^2 T et X^2 Y Z T^2 qui ont même puissance en X ET en Y.
Quelqu'un peut-il me donner une indication pour une démo simple pour la liberté citée ci-dessus, au moins pour le cas homogène?
merci!

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,
Ce que tu appelles degré n'est pas clair. Quel est le degré du polynôme ? Le degré total ? le degré par rapport à ? par rapport à ? Ou est-ce un couple ? Mezalor quel est le monôme de plus grand degré dans ce polynôme ?

[acteon2]

Bonjour, oui je me suis rendu compte cette nuit que ma question n'était pas claire et allais me corriger. Il y a deux problèmes dans ma question:

1) celui que tu évoques, et donc en fait j'aurais dû parler de famille de monômes: au sens, un monôme est X_1^a1 ...X_n^a_n: je m'intéresse donc juste à une famille de monômes.

2) ensuite je me suis dit, mais il n'y a alors pas de question, ça doit juste être la définition d'un polynôme à plusieurs variables, combinaison linéaire de monômes associés à des (a_1,...,a_n) distincts , nul ssi tous ses coefficients sont nuls. (en travaillant par exemple dans R_N[X_1,...,X_n] défini par l'ensemble des polynômes tels que a_1+...+a_n <= N , la somme a_1+...+a_n représentant le degré)

3) mais il y a quand même une question: est-il simple d'établir qu'une famille de fonctions polynomiales associées à des polynômes à n variables , de "degré" tous distincts, est libre? (éventuellement si besoin en se restreignant aux fonctions polynomiales homogènes).
En d'autres termes peut-être, est-il possible d'identifier polynôme et fonction polynomiale, même à variable réelle, quand on a plusieurs variables?

Voilà j'espère que c'est plus clair et désolé pour la première version, merci pour ton message.

[acteon2]

Bon après réflexion, je me dis que le résultat se prouve par récurrence, il ne faut pas s'embêter avec les puissances non distinctes, juste poser comme phrase de récurrence sur n, toute fonction polynomiale à n variables nulle sur R^n a ses coefficients tous nuls". et on rédige proprement. C'est ça le mieux non?
Par ailleurs si quelqu'un a une bonne référence sur les polynômes à plusieurs variables, je suis preneur!