Une somme directe sans utiliser le lemme des noyaux

[acteon]

Bonjour à tous,

j'aimerais montrer que si a et b sont deux scalaires distincts et n et p deux entiers naturels non nuls,
Ker ((f-aId)^n) et Ker((f-bId)^p) sont en somme directe, sans utiliser le lemme des noyaux (et donc sans utiliser le théorème de Bezout sur les polynômes).
Dans ce cas assez simple je me dis qu'on peut faire sans mais je galère un peu.
Quelqu'un aurait-il une idée?
Merci!

[acteon]

en fait je crois que j'ai une idée.
si n ou p vaut 1 c'est facile, car par exemple si n=1, si x non nul dans Ker(f-aId) et Ker(f-bId)^p , f(x)=ax mais alors (f-bId)x=(a-b)x puis (f-bId)^p (x)= ((a-b)^p) x absurde.
sinon on va faire "descendre un indice". soit x dans l'intesection de F=Ker ((f-aId)^n) et G=Ker((f-bId)^p).
Si (f-aId)(x)=0 ou (f-bId)(x)=0 c'est terminé (voir ci-dessus).
Sinon , posons par exemple y= (f-aId)(x) , qui est donc non nul.
L'espace G est stable par f-a Id car f-a Id et (f-bId)^p commutent. donc y appartient à G mais aussi à Ker ((f-aId)^n-1) et donc y est dans l'intersection de Ker ((f-aId)^n-1) et Ker((f-bId)^p) qui est non nulle. Et on recommence. si f(y)=ay c'est fini on montre que absurde, sinon on pose z = (f-aId)(y) etc...et on finit par obtenir un vecteur v non nul de Ker ((f-aId)) et Ker((f-bId)^p): absurde.
si quelqu'un veut vérifier, car j'ai la tête qui a chauffé, mais dans tous les cas vive le lemme de décomposition des noyaux!