Calcul d'une série entière

[issoram]

Bonjour,

J'essaie de calculer cette série entière:
Pour

En passant à la dérivée j'obtiens:


Mais ensuite je coince pour remonter à S(x) par intégration... Je me suis peut être trompé avant...

Merci de votre aide

[catamat]

Bonjour

Si on pose u(x)=lnx et v(x)=-ln(1-x)

S'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) donc S=uv

[issoram]

J'ai finalement réussi à intégrer, c'était juste la dérivée d'un produit!
Au final j'obtiens :

Si j'évalue S en avec cette formule j'obtiens
Ce n'est pas cohérent car cette somme devrait être positive.
Il y a donc une erreur dans mon raisonnement, mais je ne la vois pas pour l'instant.

[issoram]

Merci Catamat, effectivement j'ai vu ça ce matin. J'essayais d'intégrer séparément les 2 fractions alors que la réponse était sous mes yeux...

[catamat]

Quand tu intègres la primitive est connue à une constante près....

[catamat]

D'autre part, le 1/x exclut la valeur 0 qui est valable au départ

[issoram]

Merci Catamat, effectivement je fais les choses à moitié...

1) est continue en 1 avec

2)

3) S étant continue en 1, en faisant tendre x vers 1 dans l'égalité précédente, on obtient:

Ainsi


4) Petite vérif pour

Soit

Ce qui est vrai...

Je ne suis pas sûr de moi pour le point 3)... N'hésitez pas si je dis des bêtises...