Norme d'une matrice diagonale

[acteon]

Bonjour,

J'un exercice dans lequel on définit la norme de A (matrice carrée de taille p, à coeff dans C) par max (||AX||, ||X||<=1).
où || .|| est une norme fixée, mais pas connue, de C^p.
j'ai déjà montré quelques propriétés ( N(AB)<=N(A)N(B)) , r(A)<=N(A) où r(A) est le max des modules des valeurs propres de A, etc...

Puis je dois montrer que si D est diagonale et si r(D)<1 , alors N(D)<1. j'ai essayé de décomposer un X sur la base canonique mais sans succès car je ne connais pas ||.||, idem j'ai essayé par l'absurde, si N(D)>=1 , il existe X de module <=1 tq ||DX||>=1 mais je ne peux pas supposer que X est un vecteur propre, et puis je n'ai pas l'impression d'utiliser beaucoup que D est diagonale...et bien sûr les normes sont équivalentes sur C^p mais je ne vois pas bien comment l'utiliser ici.
Bref quelqu'un aurait une idée SVP?
Merci

[zwijndrecht]

Bonjour,

Tu es sûr de ton énoncé ?
Il y a un résultat (classique) qui dit que si est une matrice fixée, alors, pour tout , on peut trouver une norme subordonnée telle que . La preuve est plus simple si est supposée diagonale. En particulier, il existe donc (au moins) une norme subordonnée qui vérifie la propriété demandée (en fait, pour toutes les normes "usuelles" sur , ça semble fonctionner).

En revanche, si l'on considère, sur , la norme , le vecteur , et la matrice , on a et ...

[zwijndrecht]

En fait, dans mon exemple, on a même carrément : pour un vecteur , on a par inégalité triangulaire, et donc .
On a donc , et le post précédent exhibe un vecteur qui vérifie (notons que pour avoir égalité dans les deux majorations à la fois, il faut et il suffit que ).

[acteon2]

Un grand merci pour tes réponses.
Et toutes mes excuses également, même si l'énoncé, issu d'un grand concours, était bien celui là.
Je me disais bien que c'était un peu trop beau pour être vrai, mais n'avais pas de contre exemple qui me venait à l'esprit.
Merci