Parties infinies et entiers naturels

[marcheur]

Bonjour,

Je me posais la question :
est-ce vrai (ou plûtôt : est-ce si vrai) qu'au sein des entiers naturels simplement il peut y avoir une infinité d'infinis disjoints les uns des autres (sans aucun élément commun à chaque infinité) ?
Comme ceci : avec une infinité d'étages comprenant chacun une infinité d'éléments où il n'y aurait pas un seul élément se trouvant dans deux étages à la fois : aucun nombre dans plus d'un seul étage :

[Ben314]

Salut,
C'est évidement vrai.
Il suffit par exemple d'écrire les entiers naturels dans un tableau sous la forme suivante :

Ce qui partitionne l'ensembles des entiers en une infinité de sous ensembles infinis (les lignes du tableau).

[catamat]

Bonjour
Une autre possibilité (moins belle car on n'obtient pas une partition) :
Tous les ensembles suivants où p est un nombre premier

ils sont infinis et disjoints

[marcheur]

Merci à vous

Je voulais mettre cette image mais ça n'a pas fonctionné avec Google Chrome :


Mais là je ne sais pas si ça fonctionne (c'est juste une illustration de la même chose : tableau).

[Ben314]

A un décalage prés, ton tableau, c'est plus ou moins ça :
1ère ligne : les entiers impairs.
2em ligne : les doubles d'entiers impairs.
3em ligne : les quadruples d'entiers impairs.
. . .
k-ième ligne : les entiers de la forme 2^k*impair

Ce qui fait de nouveau une partition en une infinité d'ensembles infinis.

[marcheur]

Un ensemble infini tel que N comprend une infinité de parties infinies comme on le voit mais ensuite pour chacune de ces parties il n'est sûrement plus possible de procéder de même (de faire pareil) : elles ne contiennent pas chacune une infinité de partie infinies (si on s'en tient à N seulement et pas en admettant les décimaux, etc ..)....

[Ben314]

Bien sûr que si : les parties en question étant infinies, elle ont même cardinal que N et donc les même propriétés que N (en ce qui concerne leur cardinal) donc en particulier, la propriété de pouvoir être "coupées" en une infinité de parties infinies.
Par exemple, si tu prend la 4em ligne du post précédent, elle contient les entiers de la forme 8x(2m+1) ou m est un entier quelconque et tu peut la scinder en une infinité de "sous-lignes" infinies en mettant sur la première sous-ligne tout les 8x(2m+1) avec m impair, sur la deuxième tout les 8x(2m+1) avec m le double d'un impair, sur la troisième tout les 8x(2m+1) avec m le quadruple d'un impair, etc . . .
Et évidement chacune de ces "sous-ligne" est elle même scindable en une infinité de sous-sous-lignes infinies qui sont elle même scindables en une infinité de sous-sous-sous-lignes infinie, etc . . .

Et pourquoi tout ça ? Ben simplement du fait que n'importe quel ensemble infini est scindable en une infinité de parties infinies.

[marcheur]

Ok, mais dans ce cas y a t-il une différence entre la notion de partie (infinité de parties infinies qui elles mêmes .... sans fin) et celle de division ?
Puisque : infini/infini = 1 et pas : infini/infini = infini.
Le 1 qu'on trouve est une unité, un élément et même pas une partie ou un ensemble !

[Ben314]

infini/infini, ça ne veut rien dire sans expliciter précisément ce que signifie "infini" dans ce contexte.
La notion de division n'a évidement du sens que pour certains types d'objets, par exemple des nombres (avec un diviseur non nul), sauf que l'infini, ce n'est pas un nombre, mais un concept purement abstrait : il n'y a rien d'infini dans la vraie vie, donc aucune façon de prendre un "exemple concret" pour voir ce que donne un calcul avec l'infini comme on pourrait le faire avec par exemple 3x5 en posant sur une table 3 lignes de 5 pièces de monnaie et en comptant combien il y en a au total.
Pour donner du sens à "infini/infini", ce qu'on peut éventuellement faire, c'est de prendre des fractions avec un numérateur et un dénominateur dépendant d'un certaine entier N et qui deviennent tout les deux de plus en plus grand lorsque N devient grand (on dit qu'ils tendent vers l'infini lorsque N tend vers l'infini). Sauf que, justement, dans ce cas là, on ne peut rien dire de "infini/infini" : si par exemple le premier infini, c'est NxN (avec N qui tend vers l'infini) et le deuxième c'est N alors le rapport c'est N qui tend vers l'infini. Mais si le premier infini c'est N et le second NxN alors le rapport c'est 1/N qui tend vers 0. Et si le premier infini, c'est 23xN et le second c'est N, alors le rapport des deux c'est 23.
Bref, dans ce contexte (et dans beaucoup d'autres) infini/infini, ça peut être égal à n'importe quoi et ça n'a rien de surprenant : si on te dit uniquement que deux nombres A et B sont "extrêmement grand", tu ne peut absolument rien en déduire concernant le rapport de A/B qui peut lui même être très grand, ou très petit, ou très proche de 17,459 ou de n'importe quelle valeur.

[marcheur]

Ok, merci.

Sur un sujet qui traite de l'infini mais autrement : théorie des ensembles, j'ai beau chercher je ne vois nulle part une chose explicite, claire et simple qui explique ce que sont les alephs : est-ce que ce sont des nombres ou des ensembles ? aleph 0 contient quoi, aleph 1 contient quoi ou alors aleph 0 c'est quoi, aleph 1 c'est quoi, ...
Si par ex aleph 0 est un nombre, quel est le nom de l'ensemble auquel il appartient, pareil pour aleph 1, etc ..

[Ben314]

Les Aleph, ce sont des cardinaux et il y a plusieurs façon de les définir : soit en disant qu'un Aleph donné, c'est une classe pour la relation "être en bijection avec" sur la classe des ensembles, mais cette définition à le mauvais goût qu'un cardinal ce n'est plus un ensemble (1) et ça peut éventuellement poser des problèmes (ça dépend de ce qu'on veut faire avec les cardinaux). Une autre façon de définir les cardinaux, c'est (modulo d'accepter l'axiome du choix) de les définir comme des ordinaux particulier en utilisant la définition de Von-Neumann pour les ordinaux. Dans ce cas, un cardinal, c'est simplement un ensemble (très particulier), Aleph0, c'est l'ensemble des entiers naturels (2) et Aleph1 c'est le plus petit ordinal (c'est à dire un ensemble très particulier) qui ne peut pas être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels (3). Et modulo de supposer l'hypothèse du continu, en fait Aleph1 c'est un ensemble en bijection avec l'ensemble des nombres réels : on sait prouver qu'il n'y a pas de bijection entre l'ensemble des entiers et celui des réels, et, si on veut, on a le droit de supposer qu'il n'y a aucun ensemble de cardinal compris entre N et R (et on a aussi le droit de supposer qu'il y a des ensembles entre les deux)
(1) Il faut faire attention au fait qu'en math, une "collection" absolument quelconque d'objets n'est pas forcément un ensemble sinon on tombe sur le paradoxe de Russell.
(2) Construit de la façon usuelle dans ZFC, c'est à dire 0=∅ ; 1 ={0} ; 2={0,1} ; 3={0,1,2} ; etc (où en fait tout est construit à partir de l'ensemble vide et c'est tout)
(3) dans les trucs de vulgarisation, on voit souvent l'expression "qui n'a pas le même nombre d'élément" plutôt que "qui n'est pas en bijection", mais il faut se méfier de ce type de simplification linguistiques qui conduisent souvent le lecteur à penser que les cardinaux infinis, "ça marche pareil" que les cardinaux finis (= "les vrais nombres"), c'est à dire que ça marche de la même façon que lorsque l'on compte des pommes ou des tomates. Alors qu'il y a bien quelques points communs, mais il y a aussi beaucoup de choses très différentes du cas fini (par exemple et justement, 5/5=1 ; 17/17=1 ; 398/398=1 ; mais infini/infini, ben c'est pas égal à 1...)

[marcheur]

Ok, merci Ben.

Donc je suppose que tous les aleph qui suivent à l'infini (aleph 2, aleph 3, etc ..) sont des ensembles qui ne peuvent être mis en bijection avec le précédent aleph.
J'avais trouvé un truc sur internet il y a des années qui expliquait assez clairement le comment des infinis de Cantor de plus en plus grands et je ne me souviens plus si c'est en rapport direct avec les alephs (si on doit faire intervenir les alephs pour ça obligatoirement) ou si c'est simplement le fait de l'ensemble des parties d'un ensemble infini qui est le départ de ce processus infini.