Combinatoire
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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MMu
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par MMu » 23 Mai 2024, 14:10
Trouver la fonction
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f:N\rightarrow N)
( entiers > 0) telle que :
![Dan.San :frime:](https://www.maths-forum.com/images/smilies/13.gif)
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Ben314
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par Ben314 » 23 Mai 2024, 15:33
Salut,
Sauf erreur,
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f(n)\!=\!\lfloor\varphi n\rfloor)
(partie entière) où
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\varphi\!=\!\frac{1}{2}\big(1\!+\!\sqrt{5}\big))
est le "nombre d'or".
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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MMu
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par MMu » 23 Mai 2024, 15:40
C’est vrai, mais pourquoi ?
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Ben314
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par Ben314 » 23 Mai 2024, 16:25
Si on prend
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f(n)\!=\!\lfloor\varphi n\rfloor)
tes deux égalités équivalent respectivement (après de mini calculs) à
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\varphi n\!-\!\varphi\!\leqslant\!f(n)\!<\!\varphi n)
et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\varphi n\!-\!1\!\leqslant\!f(n)\!<\!\varphi n\!+\!\varphi\!-\!1)
qui sont vraies vu que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f(n)\!<\!\varphi n\!<\!f(n)\!+\!1)
(avec des inégalités strictes car
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\varphi\!\not\in\!\Q)
).
Et pour montrer que c'est l'unique solution, il suffit de dire que, si
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f(n)\!=\!\lfloor\varphi n\rfloor)
pour tout
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n\!\in\!\{1..N\})
alors pour ces
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n)
là, on a
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f(n\!+\!1)\!=\!f(n)\!+\!1)
ou
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?+2)
donc
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?N\!+\!1)
est un
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f(n))
ou (inclusif) un
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f(n)\!+\!1)
donc au moins une des deux formules donne la valeur de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f(N\!+\!1))
: il n'y a donc pas le choix.
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MMu
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par MMu » 23 Mai 2024, 22:51
Désolé , je n’ai pas été clair , ma question était comment on arrive à la solution .. mais peut être ce n’est pas important ..
![Dan.San :frime:](https://www.maths-forum.com/images/smilies/13.gif)
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Ben314
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par Ben314 » 24 Mai 2024, 15:06
Perso, j'ai commencé par me dire que la fonction cherchée devait être proche d'une fonction réelle
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?F)
telle que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?F\big(F(x)\big)\!=\!F(x)\!+\!x)
qui admet une solution linéaire évidente, à savoir
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?F(X)\!=\!\lambda x)
avec
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\lambda^2\!=\!\lambda\!+\!1)
. Ensuite, j'ai regardé l'écart entre
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?F)
et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f)
pour les premières valeurs entières (avec un tableur) et conjecturé le résultat.
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catamat
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par catamat » 24 Mai 2024, 15:14
En plus (beaucoup plus) bourrin on peut chercher les premiers termes (une bonne vingtaine) puis voir si cela figure dans l'encyclopédie des suites OEIS
et on trouve :
https://oeis.org/A000201On voit que cette suite intervient dans pas mal de situations pour ceux qui maitrisent l'anglais et les maths...
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Ben314
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par Ben314 » 24 Mai 2024, 21:05
Cette suite, je la connaissait aussi du fait du théorème de je-sais-plus-qui qui dit que si
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\alpha,\beta)
sont deux irrationnels >0 alors les parties entières de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\alpha n)
et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n\!\in\!\N^*)
donnent une partition de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n\!\in\!\N^*)
.
Donc, vu que
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\frac{1}{\varphi}\!+\!\frac{1}{1+\varphi}\!=\!1)
les termes qui ne sont pas dans ta suite (f(n)), c'est les parties entières de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(1\!+\!\varphi)n)
, c'est à dire en fait, les n+f(n) : tout entier naturel non nul est un f(n) ou (exclusif) un n+f(n).
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MMu
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par MMu » 25 Mai 2024, 03:30
@ Ben314 : il s’agit du théorème de Beatty ...
![Dan.San :frime:](https://www.maths-forum.com/images/smilies/13.gif)
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Ben314
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par Ben314 » 25 Mai 2024, 10:00
Tient, à titre de mini énigme :
Est-ce la seule fonction de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\N^*\to\N^*)
telle que tout
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?m\!\in\!\N^*)
soit un
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f(n))
ou (exclusif) un
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n\!+\!f(n))
?
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MMu
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par MMu » 08 Juin 2024, 16:48
Il me semble que ce n’est pas la seule.
La fonction
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\displaystyle \forall_{n\in N^*}\ f(n)=1)
vérifie bien la demande si j’ai bien compris la question ..
![Dan.San :frime:](https://www.maths-forum.com/images/smilies/13.gif)
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Ben314
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par Ben314 » 08 Juin 2024, 21:53
La question, c'est ça :
Déterminer toutes les fonctions
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f;\N^*\to\N^*)
telles que les deux ensembles
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A\!=\!\{f(n):n\!\in\N^*\})
et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?B\!=\!\{n\!+\!f(n):n\!\in\N^*\})
forment une partition de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\N^*)
. (Donc
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f)
constante, ça ne marche pas du tout.)
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par MMu » 09 Juin 2024, 09:56
Ben314 a écrit:La question, c'est ça :
Déterminer toutes les fonctions
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f;\N^*\to\N^*)
telles que les deux ensembles
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A\!=\!\{f(n):n\!\in\N^*\})
et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?B\!=\!\{n\!+\!f(n):n\!\in\N^*\})
forment une partition de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\N^*)
. (Donc
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f)
constante, ça ne marche pas du tout.)
Il y a là une subtilité que je ne saisis pas , puisque pour
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f=1)
(costante) on obtient bien la partition
![Dan.San :?:](https://www.maths-forum.com/images/smilies/142.gif)
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Ben314
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par Ben314 » 09 Juin 2024, 12:11
Oui, c'est effectivement moi qui suis complètement à coté de la plaque : dans ma tête, B était aussi fini . . .
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catamat
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par catamat » 10 Juin 2024, 10:06
Ben314 a écrit:La question, c'est ça :
Déterminer toutes les fonctions
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f;\N^*\to\N^*)
telles que les deux ensembles
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?A\!=\!\{f(n):n\!\in\N^*\})
et
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?B\!=\!\{n\!+\!f(n):n\!\in\N^*\})
forment une partition de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\N^*)
.
Bonjour
Si on prend f définie sur
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?N^*)
par
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?f(n)=2n(\frac{n}{2}- \lfloor \frac{n}{2} \rfloor))
B est l'ensemble des entiers pairs non nuls et A celui des entiers impairs
mais il doit y en avoir d'autres...
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Ben314
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par Ben314 » 10 Juin 2024, 12:39
Oui, j'ai l'impression que, tel quel, l'énoncé laisse trop de liberté. Peut-être rajouter "f injective", voire "f strictement croissante" rendrait le truc plus intéressant.
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