Série convergente dans Lp

[mathsforum]

Bonjour,
Soit (g_n) une suite de fonctions de Lp. Si la série de terme général g_n converge dans Lp, peut-on en déduire sans hypothèse supplémentaire que la somme de cette série (j'entends : la limite de la série) est encore dans Lp ?
Merci d'avance !

[Ben314]

Sluat,

Si la série de terme général g_n converge dans Lp, peut-on en déduire sans hypothèse supplémentaire que la somme de cette série (j'entends : la limite de la série) est encore dans Lp ?

Je ne comprend pas la question : pour moi, quand on écrit qu'une série converge dans E (espace vectoriel normé), ben ça signifie (par définition) que la somme est dans E.
Donc tu prend quoi, toi, comme définition de "la série de terme général g_n converge dans Lp" pour qu'il y ait le moindre début de question pour savoir si la somme est (ou pas) dans Lp ?

Le seul truc que je vois qui ressemble (vaguement) à ce type de question, c'est ça : On prend une suite (gn) d'éléments de E (e.v.n.) telle que la somme des ||gn|| soit convergente dans R. Est-ce que la somme des gn est convergente dans E ? Et dans le cas où E est complet, la réponse est oui.

[mathsforum]

Ok merci, ça répond à ma question !
(En gros, j'ai une somme infinie G, où G c'est la somme des g_n (g_n dans Lp). Je dois montrer que G est dans Lp. Pour ça je montre que la série converge dans Lp : je l'ai fait en montrant que la somme des ||g_n|| converge dans R. Ma question était : est-ce que la convergence de la série dans Lp suffit à montrer que la somme infinie est dans Lp ? Et oui, d'après ta réponse)
Bonne fin de journée !