Algèbre bilinéaire vecteurs propres

[Françoisdesantilles]

Bonjour, je voulais savoir si quelqu'un pouvais corrigé cet exo svp ou au moins les premières questions merci:

Exercice 2.3. Soit M une matrice orthogonale de , c'est à dire qui vérifie .
a/ Montrer que si est une valeur propre réelle de , alors .
b/ Montrer que si est une valeur propre complexe et non réelle de , alors sa conjuguée est aussi une valeur propre de (on pourra considérer un vecteur propre de dans pour , et montrer que le vecteur dont les coordonnées sont conjuguées est un vecteur propre pour ).
c/ En calculant de deux façons différentes le produit , montrer que les valeurs propres d'une matrice orthogonale sont des nombres complexes de module 1.
d/ Montrer que si un sous-espace vectoriel de est stable par une isométrie , alors son orthogonal est aussi stable par .
Voici mes réponses :
https://ibb.co/DDMDmG9

[Ben314]

Salut,
Je ne comprend pas ce que tu as écrit pour la question a) (c'est quoi ce qui apparrait comme un cheveux dans la soupe sans même qu'on sache de quelle nature il est), ni le rapport avec la question posée.
Pour le b), c'est correct, mais perso, j'aurais commencé par dire une bonne fois pour toute que, vu que l'application est un morphisme d'anneau, on a et pour n'importe quelle matrices complexes et telles que la somme (respectivement le produit) ait du sens.
Et clairement, si on s’autorise à utiliser ces propriétés, ça rend la preuve bien plus coutre (à écrire).

[Françoisdesantilles]

Merci Ben.
Ah bin oui c'est bien plus rapide.
Concernant la question a) j'ai utilisé le théorème 2.2.c) :
ISOMÉTRIES, SIMILITUDES.Algèbre bilinéaire.
2.1. Définitions.

Définition 2.1. Soit un espace vectoriel euclidien, et un endomorphisme de . On dit que est orthogonal, ou une isométrie quand conserve le produit scalaire


On dit que est une similitude de rapport quand "multiplie" le produit scalaire par


Théorème 2.1. Soit un endomorphisme de l'espace euclidien .
Les conditions suivantes sont équivalentes
(a) est une isométrie;
(b) l'image d'une base orthonormale par est une base orthonormale;
(c) conserve la norme : pour tout vecteur , on a ;
(d) la matrice de dans une base orthonormale est orthogonale, c'est à dire qu'elle vérifie .

Exercice 2.1. Montrer qu'une symétrie orthogonale est une isométrie.

Théorème 2.2. Soit un endomorphisme de l'espace euclidien .
Les conditions suivantes sont équivalentes
(a) est une similitude de rapport ;
(b) "multiplie" la norme par : pour tout vecteur , ;
(c) la matrice de dans une base orthonormale vérifie .

[Ben314]

Théorème de cours ou pas théorème de cours, en math, quand tu utilise un symbole( par exemple une lettre) quelque part, c'est forcément après avoir précisé ce que désignait le symbole en question. (ce qui me semble tout de même être le B-A-BA du bon sens : savoir de quoi on parle)
Donc ici, ton fameux il aurait falu préciser que c'est un réel >0 vu le résultat de cours que tu évoque, sauf que d'écrire c'est n'importe quoi vu qu'à gauche du = c'est une matrice alors qu'à droite, c'est un réel.
De plus, même en rajoutant le (matrice identité) qu'il manque à droite du =, et même en enlevant le (qui est égal à 1 : l'énoncé lui même te le rappelle) je ne vois toujours pas à quoi ça peut te servir en ce qui concerne la question posée, à savoir que les (éventuelles) valeur propres réelles ne peuvent être que