Algorithme sympa

[MMu]

Considérons un polygone à sommets.
À chaque sommet est associé un réel strictement positif de sorte que le produit de ces réels soit inférieur à .
Si à sommets consécutifs correspondent avec l’opération suivante est permise

Cette opération est répétée tant qu’il y a au moins un nombre
Montrer que ce processus prend fin au bout d’un nombre fini d’opérations.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Ça me semble faux. Je prends la version additive du problème (prendre le logarithme de la version multiplicative). Je pars du carré
+4 -2
-1 -1
que je transforme en
-4 +2
+3 -1
puis
-1 +2
-3 +2
puis
-1 +4
-1 -2
Je me retrouve avec le carré de départ tourné d'un quart de tour. Je peux continuer comme ça indéfiniment

[MMu]

@GaBu..: Il est dit que le produit doit être . Dans ta version additive la somme doit être ..

[GaBuZoMeu]

OK, j'avais mal lu : je premais =1.

[Ben314]

Bon, ben juste un petit mot pour dire que, pour le moment, j'ai gratté pas mal de papier et, et et . . . absolument rien trouvé . . .

[Ben314]

(sauf une petite erreur dans l'énoncé : si on demande uniquement au produit d'être inférieur à 1, ça va déconner lorsqu'il est égal à 1)

[MMu]

@Ben314 :de quelle erreur dans l’énoncé s’agit il ?

[Ben314]

Si le produit est égal à 1, ça peut cycler : par exemple avec 3 nombres (1 ; 2 ; 1/2) -> (2 ; 1/2 ; 1) -> (1/2 ; 1 ; 2) -> (1 ; 2 ; 1/2).
Donc pour que ça marche, il faut que le produit soit strictement inférieur à 1 et pas uniquement inférieur à1.

P.S. En fait je viens de réagir que ton "inférieur", on peut le comprendre comme signifiant "strictement inférieur" vu qu'à part en math. c'est souvent comme ça qu'on le comprend (et que je me suis déjà fait bai... un paquet de fois sur l'interprétation de ce mot dans des casse têtes, mais je ne m'y suis jamais fait . . .).

Sinon, j'ai trouvé un truc et je pense que je tient le bon bout . . .

[catamat]

Bonjour
Sur le cas particulier n=3 avec la notation additive de Gabuzomeu.

J'appelle S la somme des nombres positifs
Il y a deux situations possibles au départ, on a un seul positif (situation I) ou deux positifs (situation II)

Situation I

Soit a,b et c des réels positifs, a >0 , on a :
a
-b -c
avec a-b-c<0 et S=a

Etape 1 :
-a
a-b a-c

S <= a-b+a-c <a car a-b-c<0

Donc dans cette situation S décroit strictement.

Situation II

Soit a,b et c des réels positifs, a>0, on a :
a
b -c
avec a+b-c<0 et S= a+b

Supposons que l'on remplace a (on ferait de même avec b)

Etape 1
-a
a+b a-c

a-c<0 car a-c<-b , donc S=a+b, S ne varie pas
mais on se retrouve dans la situation I


Donc en résumé, à chaque étape soit S décroit strictement soit il est stable mais décroit strctement à l'étape suivante donc au bout de quelques étapes S devient nul il n'y a donc aucun nombre strictement positif.

[Ben314]

Je suis pas sûr à 100% vu que pour le moment ma preuve est plutôt pourrie, mais je pense avoir une solution :
On part de la suite de réels telle que .
Pour tout et on pose avec bien sûr .
Comme , les sont pour tout les suffisamment grand donc on peut considérer le cardinal (fini) de l'ensemble des couples t.q. .
Sauf que, (si je ne me suis pas gouré), à chaque fois qu'on fait une "opération", ce cardinal diminue de 1.

[Ben314]

C'est bon : j'ai la preuve "propre" : à chaque "opération", les qui sont modifiés par l'opération sont simplement échangés 2 à 2 sauf le correspondant au milieu de l'opération qui devient .
Le nombre de termes diminue donc (systématiquement) de une unité.
Et ça prouve non seulement l'arrêt du processus, mais aussi que le nombre d'opération nécessaires à cet arrêt ne dépend pas de l'ordre dans lequel on fait les opérations.

Joli problème (qui m'aura occupé un bon moment . . .)

[MMu]

Ok @Ben314, super C ’est la généralisation d’un problème IMO lequel considérait le cas n =5 et permettait une solution très différente et plus simple.