Méthode de Newton

[ludovic44]

Bonjour, je m'attaque à la démonstration de la méthode de Newton. Je m'appuie sur le Ketrane/Elineau qui propose une démonstration inspirée du Rombaldi, éléments d'analyse réelle.

Ayant survolé la démonstration, je sens bien que ça va être un peu difficile pour moi. J'ouvre donc une discussion dans laquelle je poserai mes questions au fur et à mesure. Merci d'avance à tous ceux qui prendront le temps de m'aider.



On a une fonction de classe sur un segment et tel que et .

L'auteur affirme que puisque et que est continue, il existe un voisinage V de sur lequel ne s'annule pas.

Voici déjà deux questions:

1) J'ai détaillé cette affirmation même si elle est évidente sur le dessin. Néanmoins, je n'arrive pas à m'imaginer un exemple dans lequel cela ne fonctionnerait pas dans le cas où n'est pas continue.

2) Ce n'est pas vraiment une question, j'ai juste besoin de savoir pour me rassurer si ce que j'ai écris est correct concernant le détail évoqué au dessus:

Puisque , alors il existe tel que si , alors .
Or, puisque est continue sur , alors il existe tel que si , alors et donc.

Ainsi, le voisinage V évoqué est le segment .

Merci !

[Ben314]

Salut,
Concernant ta première question, tu peut vérifier que la fonction définie par et est dérivable sur tout entier (donc y compris en 0), que sa dérivée en 0 est non nulle, mais qu'elle s'anulle sur tout intervalle ouvert contenant 0, aussi petit soit-il.

Pour la deuxième question, c'est O.K.
Perso, j'aurais directement pris plutôt que d'évoquer un "il existe", mais ça ne change rien.


Sinon, concernant la méthode de Newton, je ne sais pas quelles sont les hypothèses que tu as (ça dépend des auteurs), mais perso, j'aurais tendance à prendre ça :
deux fois dérivable sur ; et de signe opposés ; de signe constant sur
Qui n'est peut-être pas le plus général, mais qui est sans doute le plus pratique à vérifier dans les "cas concret" et qui permet d'amorcer systématiquement la suite avec ou bien .

[ludovic44]

Bonjour et merci !

Je prendrai le temps demain matin d'étudier en détail la fonction que tu m'as proposé.
Merci pour ton retour concernant les différents détails que j'ai donné.
Depuis, j'ai encore une ou deux questions, faudra que je prenne le temps de les exposer !

Pour ce qui est des hypothèses, il y a deux parties dans le théorème:

1) Dans la première, f est une fonction de classe sur un segment qui s'annule en avec . Et c'est tout (de mémoire, je n'ai pas le livre sous les yeux). Néanmoins, avec ces hypothèses, il faut être (si j'ai bien compris) suffisamment proche du lors de l'initialisation afin d'être certain que la méthode fonctionne.

2) La, je n'ai plus exactement toutes les hypothèses (je n'ai pas encore regardé la preuve en détail) mais il y en a plus: d'abord l'existence d'une solution unique à l'aide du TVI, puis probablement une histoire de concavité/convexité. Avec ces hypothèses supplémentaires, l'initialisation peut être pris sur tout le segment de départ me semble t-il.

[Ben314]

Oui, c'est bien plus ou moins ça les hypothèses "classiques" :
- La première est plus générale mais a le défaut qu'on ne sait pas trop où on doit amorcer la suite pour être sûr que ça converge.
- Par contre, pour la deuxième, ça m'étonne un peu qu'on puisse amorcer n'importe ou : avec les hypothèses de mon post précédent, pour être sûr que ça marche, il faut amorcer du bon coté de la racine (en fonction des signes de f(a) et f(b) et du signe de f'').

[ludovic44]

Tu as très certainement raison ! Effectivement, j'ai lu dans ce bouquin que l'on coupe en deux l'intervalle et qu'il faut être du bon côté. J'ai lu dans un autre, mais très rapidement, survolé serait le terme, que si on est du mauvais côté, on passe du bon côté au bout d'une étape. Après, il y a peut-être des hypothèses en plus, ou une erreur (j'ai abandonné ce livre car la preuve me semblait bancale) ou alors je n'ai pas bien saisi !

[ludovic44]

Je tenterai de poster mes autres interrogations la semaine prochaine, je veux prendre le temps de bien les rédiger. Encore merci pour ton aide, ce n'est pas la première fois que tu me sort de l'embarras !

[ludovic44]

Bonjour à tous,

Dans la suite de la preuve, je suis gêné par une affirmation.

On a une fonction définie sur un intervalle centré en (la solution de ).
Cette fonction est dérivable de dérivée continue sur .

Le but de la fin de la preuve est de prouver qu'il existe un intervalle inclus dans et dans lequel est contractante et tel que stable par (dans le but d'utiliser le théorème du point fixe de Picard).

On prouve d'abord que (c'est direct).

C'est là ou je suis gêné: l'auteur dit alors qu'il existe un segment (il parle en fait de voisinage, je ne suis pas encore à l'aise avec la topo, je préfère remplacer par segment, je pense que ça ne pose pas de problème ici) inclus dans sur lequel et en déduit (inégalité des accroissements finis) que est donc contractante. D'après la définition, il me semble qu'il faut plutôt avec ?

Je me suis dit qu'il suffisait de remplacer par par exemple mais pourquoi l'auteur n'a pas fait cela ? J'ai peur de ne pas avoir saisi un truc important.

Merci pour votre aide !

[Ben314]

La preuve de la convergence de la suite définie par est effectivement un peu plus simple si on suppose que f' est k-lipschitzienne (i.e. |f'|<k) avec k<1 sur tout un intervalle fermé I stable (i.e. f(I)I), qu'il soit borné ou pas. Mais en fait une preuve de nature différente (utilisant la compacité) montre que le résultat est aussi vrai dans le cas d'un segment (i.e. un intervalle fermé borné) stable avec comme seule hypothèse que |f'|<1 sur l'intervalle.
Donc si l'auteur à précédemment démontré cette version"affaiblie" du théorème du point fixe, il peut effectivement l'utiliser, mais ce n'est absolument pas indispensable ici comme tu l'a toi même remarqué.

[ludovic44]

D'accord, merci ! Pourrait-on par exemple dire: puisque est continue sur un segment, alors elle est bornée et atteint ses bornes. Donc, le fait que sur le segment, et que sa borne sup, disons k, est atteinte, alors sur le segment avec ?

Cela me parait peut-être inutilement compliqué si on peut prendre k=0,9 au lieu de 1 ?

[Ben314]

On peut procéder comme ça, mais ça demande à mettre dans les hypothèses que est continue alors que dans les deux cas (version "classique"et "affaiblie" du théorème du point fixe), le résultat reste valable en supposant uniquement g dérivable.
Mais ici, de toute façon, non seulement g' est supposée continue mais en plus, g'(point fixe)=0 (donc g' est aussi petit qu'on veut à condition d'être proche du point fixe), donc ce n'est vraiment pas la peine s'embêter.

[ludovic44]

Très bien, merci beaucoup pour ton aide. Je viens à l'instant d'arriver au bout de la preuve, ouf !
Il ne me reste plus qu'à peaufiner certains détails (définition d'une vitesse de convergence quadratique, preuve du théorème de Taylor Lagrange...) mais je devrais m'en sortir seul.

Bonne journée