Question de cours

[Neptunefaitdesmaths]

Bonjour,

Petite interrogation du jour :

Y a-t-il un lien entre la définition de la continuité d'une fonction et celle de la limite réelle d'une fonction ? Les deux me semblent très proches...

Défintion de la continuité : ∀ε>0, ∃δ>0, ∀x∈I, |x−a|<δ⟹|f(x)−f(a)|<ε
Définition de la limite réelle : ∀ε>0, ∃δ>0, ∀x∈I, |x−x0|<δ⟹|f(x)−L|<ε

Cela me semble évident que oui mais je ne saurais pas le justifier...

Merci d'avance et bonne journée

[Ben314]

Salut,
Je sais pas ce qu'on t'a donné comme définition d'une fonction continue, mais à mon époque, la première définition qu'on donnait (avant d'en donner d'autres équivalentes), c'est qu'une fonction est continue ssi, pour tout de son domaine de définition,on a .

P.S. et dans ta définition de la continuité, il manque un

[Neptunefaitdesmaths]

Merci pour la précision !

Oui en fait vu comme cela c'est clair que cela explique pourquoi on se retrouve avec des propositions proches vu que la continuité est une limite en tout point ! J'aurais dû y penser

Bonne journée à vous

[ComeDuRondeau]

Bonjour,

Petite interrogation du jour :

Y a-t-il un lien entre la définition de la continuité d'une fonction et celle de la limite réelle d'une fonction ? Les deux me semblent très proches...

Défintion de la continuité : ∀ε>0, ∃δ>0, ∀x∈I, |x−a|<δ⟹|f(x)−f(a)|<ε
Définition de la limite réelle : ∀ε>0, ∃δ>0, ∀x∈I, |x−x0|<δ⟹|f(x)−L|<ε

Cela me semble évident que oui mais je ne saurais pas le justifier...

Merci d'avance et bonne journée

Pour compléter ce qu'a dit Ben, la différence principale entre les deux notions c'est qu'une fonction peut avoir une limite sans être définie. Par exemple définie sur a une limite qui vaut lorsque tend vers pourtant elle n'est pas définie en Cela permet de prolonger par continuité en en posant . La nouvelle fonction est alors automatiquement continue.