Convergence série numérique

[clairee082]

Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je n'y arrive pas du tout. Voici l'énoncé :

On considère f(x)=(x^3)(e^x) avec x un réel.

1. Montrons que la série numérique : somme 1/f(n) avec n>0 converge. On note S= somme de 1/f(n) de n=1 à +infinie

2. Montrez que pour n appartient à N*,
|S - (somme1/f(k) de k=1 à n)| <= 1/((e-1)e^n)

3. En déduire un programme Python qui calcule une valeur approchée de S à 10*-4 près.

Merci d'avance pour vos aides !

[Rdvn]

Bonjour
Posons u(n) = 1/f(n) , terme général de la série , pour n > 0

1) Le critère de d'Alembert s'applique sans gros problème
https://www.bibmath.net/dico/index.php? ... mbert.html
On peut aussi penser au critère de comparaison (sachant u(n) >0 ):
montrer u(n) <ou = 1/e^n

2)montrer puis exploiter u(n) <ou = 1/e^n

A vous , proposez vos essais

[Rdvn]

PS si ces premières indications ne suffisent pas, exprimez vos difficultés :
l'essentiel est que je ne fasse pas le devoir à votre place , mais que vous appreniez à le faire vous même.

[clairee082]

Bonjour, oui je souhaitais des pistes pour me débloquer ! Et je vous remercie j'ai réussi à le faire

Cependant j'aurai une autre question sur un autre exercice. On pose un(a) = (n!)/(produit de k=0 à n de (a+k))
On cherche la nature de la série de terme général un(a).
Mais je comprend pas comme faire avec un produit. Est-ce que c'est la même chose que les sommes ?

Merci beaucoup

[Rdvn]

OK
Posez des questions si il en reste, mais je répondrai demain : il est tard !

[Rdvn]

je n'avais pas vu la nouvelle question ... à suivre demain

[Ben314]

Salut,
Si je comprend bien, pour un fixé (*), tu veut la nature de la série où
Le problème, dés le départ, c'est que, si , tes ne vont pas être définis (division by zéro error . . .)
Si ce n'est pas le cas, alors va être équivalente (lorsque ) à (voir Fonction Gamma sur wiki) et, comme ta série va être convergente pour tout tel que et divergente si . Entre les deux, je sais plus trop . . . (il me semble que ça converge sauf si est réel, mais je ne suis pas sûr)

(*) Une plus que très bonne habitude à prendre en math., c'est de systématiquement préciser la nature des symboles qu'on utilise avant de les utiliser. Là, par exemple, ben on sait pas qui est .

[Rdvn]

Bonjour à tous

Puisque Ben prend la suite, j'en profite pour "sortir" , ce qui m'arrange vu l'emploi du temps de la journée.
Bon courage à clairee082

[clairee082]

Bonne journée et encore merci de votre aide !

[clairee082]

Bonne journée et encore merci de votre aide !

[clairee082]

Merci Ben314 de votre réponse ! Deux questions : comment peut on prouver cette équivalence car ça semble évident mais pour le trouver c'est plus complexe . Et que signifie Re ?

[Ben314]

c'est la partie réelle du complexe .
Et concernant la façon dont on montre l'équivalence des deux quantités, tu la trouvera sur tout les sites qui parlent de la fonction Gamma.

[clairee082]

Bonjour, merci beaucoup !