Démonstration corolaire sur les limites (1ere année)

[christian57]

Bonjour a tous,

depuis un mois j'ai repris la lecture du livre de François Liret, le célèbre autour du cours de math du deug Mias, précisément je lis celui d'analyse de première année, pour me rappeler des bons souvenirs d'y a 30 ans !

Alors voilà, c'est un petit corolaire, conséquence du théo des gendarmes. En fait je ne comprends pas la dernière partie de la démonstration..

Corolaire. Soient F et G des fonctions. Si F est bornée, et Lim de G en x0 est égal à zéro, alors la limite du produit des fonctions en X0 est égal à zéro.

Démonstration

F est bornée, donc il existe un nombre M positif, tel que (Valeur Absolu de F) <= M. Dans la suite VA = Valeur Absolu.

Donc on a, 0<= VA(F*G)<= M*VA(G)
et
limite de M* VA(G) en x0 = M*limite de VA(G) en x0.

Bien entendu par le théo des gendarmes que vous connaissez tous, on déduit limite de VA(F*G) en x0 est égal à zéro.

L'auteur conclut donc que la limite du produit de fonction sans la valeur absolue en x0 est égal à zéro.

Là je suis perdu, comment justifie t on de se débarrasser de la valeur absolu, dans tout son cours il n'y a pas de théorème qui traite de la relation entre la limite de fonction et la limite de valeur absolue de cette même fonction !

H E L P. S'il vous plait...

[catamat]

Bonjour
A partir de ceci

0<= VA(F*G)<= M*VA(G)

c'est à dire ;


qui peut s'écrire



Le théorème des deux gendarmes permet de conclure

[Ben314]

D'un autre coté, quand tu regarde la définition d'une limite :
Pour tout epsilon>0 . . . blablabla . . . |f(x)-L|<epsilon
Dans le cas où L=0, si tu remplace f(x) par |f(x)|, ben ça change évidement rien vu que la valeur absolue de la valeur absolue d'un réel, ben c'est bien évidement la même chose que la valeur absolue du réel.
En bref, y'a pas besoin d'un quelconque théorème : il suffit de lire la définition.

[christian57]

Merci. Depuis plusieurs jours je galère sur ce corollaire. c'était si simple, mais bon ils auraient pu être plus explicite aussi !

[christian57]

hello

je recherche la limite en 1- de la fonction f(x) = 1/(x^2-1)

Je trace la fonction. Je regarde en 1-, la fonction tend vers moins l'infini.

Donc j'applique la définition . F tend en moins l'infini en 1- signifie

quelque soit le nombre positif A, il existe n positif, tel que quelque soit x appartient au domaine de définition :

si 1-n<x<1 => f(x) < -A

je pars de l'inégalité. Je restreint 0<n<1 :

(1-n)^2<x^2<1

(1-n)^2-1<x^2-1<0

inverse x^2-1 < inverse (1-n)^2-1

donc sur l'intervalle |0;1|, f est inférieur à 1/(1-n)^2-1. remarquons que cette quantité est négative.

Donc posons :

1/(1-n)^2-1= -A

autrment dit déterminons la valeur de n pour que cette égalité soit rempli.

Donc je développe, j'ai : 0=An^2-2An+1.

Horreur je détermine le delta et je trouve delta=4A^2-4A

Horreur car je ne trouverai qu'une valeur n réelle a condition que 1<A.

Ma solution nécessite 1<A et donc ne remplit la condition universelle ! mais qu'ai-je raté

[Ben314]

Tu n'a rien raté, sauf la compréhension profonde de la définition : ce que tu veut, c'est que ça implique que alors que toi, tu raisonne comme si tu cherchais une équivalence.
Là, ce qu'il faut bien comprendre, c'est que, par exemple, , ça implique que qui lui même implique que .
En bref, si la propriété en question est valable pour un certain alors elle est obligatoirement valable pour tout les inférieurs à celui là. Et c'est pour cette raison que, lorsque l'on raisonne, ce fameux , on l'imagine systématiquement extrêmement grand.

Bref, avec ta prose, tu as montré qu'il existait un tel que et, bien sûr, avec exactement le même , on a aussi ! ! !

[christian57]

bon je me relance dans les calculs...

[christian57]

bon apparemment il faut utiliser le théorème des gendarmes, et éviter les démonstrations strictes avec la définition de la limite.

Ya un truc qui est dingue c'est qu'en utilisant la définition de limite stricte avec A et n :

je tombe sur l'inégalité :

f(x)< 1/([1-n]^2-1 )

je rajoute la condition : le tout <-A.

je résouds l'inéquation pour déterminer un n qui la satisfasse.

Je tombe sur l'inéquation 0<-An^2 + 2n-1. que je note 0<y(n).

Je trouve la condition 0<x0<n<x1 pour la satisfaire. Avec x0 et x1, les racines réelles de y(n). Donc le résultat est incohérent car bien sur il faudrait que j'ai un encadrement avec 0, 0<n<x1.

J'ai fait trois heures de calcul, je tombe toujours sur le même résultat. Mon raisonnement n'est pas correct mais ou ai-je faux, c'est la grande question ??

Mr ben je ne saisie pas votre explication !

[Ben314]

Perso, pour les calculs de limites, je procède dans l'autre sens ce qui me semble bien plus logique : la phrase "pour tout A, il existe eta tel que ..." je la voie comme le fait qu'on s'est donné un A (i.e. il est connu) et qu'on cherche eta et je part des choses connue pour trouver les inconnues.
Mais bon, on peut évidement le faire dans l'autre sens aussi.
0<1-n<x<1 <=> 1/(x^2-1)1/(n^2-2n) => 1/(x^2-1)<-A à condition que 1/(n^2-2n)<-A c'est à dire que 1>-A(n^2-2n) vu que (n^2-2n)<0.
Si A=0, c'est bon pour n'importe quelle valeur de n (vu que 1>0) et, si A est non nul, on cherche n pour que le polynôme du second degré P(n)=-An^2+2An-1 soit <0. La théorie des équations du second degré nous dit que les solutions de cette équation, c'est soit l'ensemble vide, soit un intervalle ouvert, soit la réunion de deux intervalles ouverts. Sauf que, vu que P(0)=-1<0, le réel 0 est solution et il y a donc tout un intervalle ouvert contenant 0 qui est solution. Donc il y a bien un n>0 qui est solution.
Et cette dernière partie concernant l'équation du second degré, si tu tient à perdre ton temps, tu peut explicitement faire les calculs en distinguant les cas A>0 et A<0 puis Delta>0 et Delta<0 et tu doit bien évidement systématiquement trouver un ou deux intervalles contenant 0 comme solutions (et éventuellement R tout entier).

[catamat]

Bonjour
Comme vous le dis Ben314 j'ai été aussi habitué à travailler par conditions suffisantes c'est à dire en partant de f(x)<-A avec x élément de ]0;1[ et ici on prendra A>1 (et ce sera bien sûr aussi vrai si 0<A<=1).

Cela donne ceci

si

ou

ou

si


Donc on a si alors

[Ben314]

Et, ça me semble pas idiot (pour comprendre le principe) de voir que, vu qu'on cherche uniquement une condition suffisante pour avoir , on peut parfaitement utiliser des "astuces" de ce style :

qui, bien évidement, permettent de grandement simplifier les calculs (voire même dans certain cas de faire les calculs vu que sinon, on ne saurais pas "inverser" la relation).

[christian57]

bravo pour votre coup de main.

Pour en venir a la démonstration , dans mon livre parfois les auteurs démarrent de l'encadrement sur valeur absolu de f et parfois sur l'encadrement de éta.

Bravo à mr catamat, votre démonstration est superbe.

Vous oubliez dans votre bagage de démonstration, la contraposée avec inversion des symboles d'existence et 'pour tout element'

Juste un détail comment savez vous qu'il faut prendre l'intervalle de x sur [0;1] ??

[catamat]

Juste un détail comment savez vous qu'il faut prendre l'intervalle de x sur [0;1] ??

Je l'ai pris dans l'intervalle ]0;1[ car f n'est pas définie en 1 et parce l'on cherche la limite de f en 1 par valeurs inférieures...
Il faut donc se cantonner à un intervalle de Df situé à gauche de 1 sans faire intervenir la borne -1 qui concerne une autre limite.

Ps : c'est gentil mais inutile de mettre "monsieur" devant le nom des pseudos