Fun problem
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fun problem
par Keslssddsss » 20 Mar 2024, 05:53
Let 
a sequence of n positive real numbers that add up to 1 . Prove that for everything n>1: 
Re: fun problem
par Ben314 » 20 Mar 2024, 10:33
L'anglais n'étant vraiment pas ma tasse de thé, je vais commencer par traduire . . .
.
Modifié en dernier par Ben314 le 20 Mar 2024, 22:46, modifié 1 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: fun problem
par Ben314 » 20 Mar 2024, 21:00
Lemme 1 : \ \sqrt{x}+\sqrt{y}\mbox{ est minimal lorsque }x=y\,(=\!2s))
Preuve :
Lemme 2 :\mbox{ alors }\sum_{i=1}^n\sqrt{c_i}\geqslant n\sqrt{n})
Preuve : que le minimum existe})
Lemme 3 :\mbox{ alors }\sigma\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{b_i}}\geqslant n\sqrt{n\sigma})
Preuve :
Lemme 4 :\sqrt{b}+\sqrt{\sigma - (n\!-\!1)b})
Preuve : au carr\'e})
Théorème :\mbox{ alors }\sum_{i=1}^{n} a_i\sqrt{\dfrac{n-1}{\sigma - a_i}} \geqslant \sum_{i=1}^{n} \sqrt{a_i})
Preuve :=\sigma.\ \mbox{On a les \'equivalences :})
b_i}{\sqrt{b_i}} \geqslant \sum_{i=1}^{n} \sqrt{\sigma - (n\!-\!1)b_i})
\sqrt{b_i}+\sqrt{\sigma - (n\!-\!1)b_i}\Big))
Remarque : en suivant les calculs, on vérifie aisément qu'il n'y a égalité que dans le cas où tout les
sont égaux.
Preuve :
Lemme 2 :
Preuve :
Lemme 3 :
Preuve :
Lemme 4 :
Preuve :
Théorème :
Preuve :
Remarque : en suivant les calculs, on vérifie aisément qu'il n'y a égalité que dans le cas où tout les
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: fun problem
par catamat » 21 Mar 2024, 16:30
Vraiment bien ficelé et bien "compact"... !
Personnellement j'avais essayé une récurrence mais rien pour n=2 c'est déjà un peu calculatoire.
Si on pose
alors 
et l'on doit démontrer que
\sqrt{\frac{1}{x}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{1-x})
qui est équivalent à
ou encore à en supprimant les dénominateurs
\sqrt{1-x}\ge x\sqrt{1-x}+(1-x)\sqrt{x})
puis en regroupant
\sqrt{x}+(1-2x)\sqrt{1-x}\ge 0)
en factorisant
(\sqrt{x}-\sqrt{1-x})\ge 0)
avec l'expression conjuguée on obtient finalement
^2}{\sqrt{x}+\sqrt{1-x}}\ge 0)
qui est vraie pour tout x élément de ]0;1[
mais pour l'hérédité c'est certainement d'un tout autre niveau...
Au passage la fonction f définie sur [0;1 ] par=(2x-1)(\sqrt{x}-\sqrt{1-x}))
a une représentation graphique plaisante... je ne sais pas si cette courbe porte un nom.
Personnellement j'avais essayé une récurrence mais rien pour n=2 c'est déjà un peu calculatoire.
Si on pose
et l'on doit démontrer que
qui est équivalent à
ou encore à en supprimant les dénominateurs
puis en regroupant
en factorisant
avec l'expression conjuguée on obtient finalement
qui est vraie pour tout x élément de ]0;1[
mais pour l'hérédité c'est certainement d'un tout autre niveau...
Au passage la fonction f définie sur [0;1 ] par
Re: fun problem
par Ben314 » 21 Mar 2024, 20:48
Ta courbe, la "logique" c'est de la compléter en replaçant toutes les 
par des 
vu que la racine d'un nombre c'est une des solutions de 
et qu'assez systématiquement, si on veut comprendre des bidules, y'a intérêt à aussi considérer qu'il y a effectivement deux solutions (par exemple la bète courbe de y=sqrt(x), ben faut la compléter pour obtenir une vraie parabole).
Là, avec ta fonction, ça donne ça :
Et, à froid, ça me dit rien de spécial . . .
Sinon, j'ai passé des plombes à essayer de trouver une preuve des lemme 2 et 3 (c'est les mêmes) avec Cauchy-Schwarz vu que dans un cas pareil où le max/min est atteint lorsque toutes les valeurs sont égales, c'est souvent C.S. qui fait marcher le bidules. Mais là, j'ai pas trouvé . . .
Là, avec ta fonction, ça donne ça :
Et, à froid, ça me dit rien de spécial . . .
Sinon, j'ai passé des plombes à essayer de trouver une preuve des lemme 2 et 3 (c'est les mêmes) avec Cauchy-Schwarz vu que dans un cas pareil où le max/min est atteint lorsque toutes les valeurs sont égales, c'est souvent C.S. qui fait marcher le bidules. Mais là, j'ai pas trouvé . . .
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Re: fun problem
par Ben314 » 22 Mar 2024, 13:10
Je comprend rien à ta prose (à part vaguement que tu utilise la concavité de la fonction racine carré ce qui permet effectivement d'avancer, mais il y a un peu de travail supplémentaire)
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Re: fun problem
par Ben314 » 22 Mar 2024, 19:53
Avec la concavité de la fonction racine carrée :
Théorème :\mbox{ alors }\sum_{i=1}^{n} a_i\sqrt{\dfrac{n-1}{\sigma - a_i}} \,\geqslant\, \sum_{i=1}^{n} \sqrt{a_i})
Lemme :)
Preuve :xy\ \Leftrightarrow\ x^2\!-\!xy\!+\!y^2\geqslant xy\Leftrightarrow\ (x\!-\!y)^2\geqslant 0)
}{\sqrt{\sigma\! -\! a_i}}\,=\, \sqrt{n\!-\!1}\Big(\sigma\sum_i \dfrac{1}{\sqrt{\sigma - a_i}}\!-\! \sum_i \sqrt{\sigma\! -\! a_i}\Big).)
\,\sigma\!\sum_i\dfrac{1}{\sqrt{\sigma\!-\!a_i}} \,=\, \sum_j(\sigma\!-\!a_j)\sum_i\dfrac{1}{\sqrt{\sigma\!-\!a_i}} \,=\, \sum_{i=j}\dfrac{\sigma\!-\!a_j\!\!}{\sqrt{\sigma\!-\!a_i}}\!+\!\sum_{i<j} \Big(\dfrac{\sigma\!-\!a_j\!\!}{\sqrt{\sigma\!-\!a_i}} + \dfrac{\sigma\!-\!a_i\!\!}{\sqrt{\sigma\!-\!a_j}}\Big))
}\ \sum_i\sqrt{\sigma\!-\!a_i} + \sum_{i<j}\Big(\sqrt{\sigma\!-\!a_i}+\sqrt{\sigma\!-\!a_j}\Big) \,=\, n\sum_i\sqrt{\sigma\!-\!a_i})
 \,=\, \frac{1}{\sqrt{n-1}}\sum_i \sqrt{\sigma\! -\! a_i})
\ \mbox{ o\`u }\ \widehat{\sigma}\!=\!\sum_{i}\sqrt{a_i})
 \,=\, \frac{1}{n-1}\big(n \widehat{\sigma}-\widehat{\sigma}\big)\,=\,\widehat{\sigma})
Théorème :
Lemme :
Preuve :
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