Déterminer les fonction dérivables et telles que :
- Pour tout réel on a .
- La fonction ne s'annule qu'en un unique réel . Pour tout
et
sont distincts et, comme ils ont la même image, c'est qu'il y a entre les deux un point où la dérivée s'annulle (Th. de Rolles). Et ce point ne peut être que
donc :
- Si
alors
ce qui implique en particulier que
.
- Si
alors
ce qui implique en particulier que
.
Donc la fonction est strictement croissante jusqu'à
puis strictement décroissante.
Si on pose
alors, par hypothèse, on a
donc
. Sauf que, si on part d'un
donné, on a vu que
et de l'autre coté de
par rapport à
donc
revient du même coté que
. Sauf que, comme
est strictement monotone donc injective sur chacun des intervalles
et
, le fait d'avoir
implique que
.
Comme
est dérivable de
sur un intervalle
avec
, elle admet une bijection réciproque
elle même dérivable. Et, sur
, le fait que
implique que
donc que
est dérivable. Idem de l'autre coté. Donc
est partout dérivable sauf éventuellement en
.
Comme
on a
.
Mais
donc
c'est à dire
.
Donc
(vu que
) puis
donc
.
Et on vérifie facilement que ces fonctions sont effectivement solutions du problème initial.